Question

1. Jednym z miejsc zerowych funkcji f(x)=x2+kx+k+2 jestliczba (-4). Znajdz wartosc parametru k oraz drugie miejsce zerowe

2. Oblicz pole trojkata ktorego wierzcholkami sa punkty przeciecia sie wykresu funkcji f(x)=-x2+5x-6 z osiami ukladu wspolrzednych

3. Sprawdz dla jakich argumentow funkcja f(x)=x2-x-6 osiaga wartosci dodatnie, nieujemne, wieksze od 14, mniejsze od -4

4.Wyznacz rownanie osi symetrii wykresow ponizszych funkcji kwadratowych a) f(x)= x2-x-6 b) f(x)=-x2+6x-8

5.Dla jakich argumentow funkcja f(x)=x2-2x-6 osiaga wartosci wieksze niz funkcja g(x)= -x2+x-4

6.Suma pol trzech kwadratow krorych dlugosci bokow wyrazone w takiej samej jednosce sa kolejnymi liczbami parzystymi jest rowna 776. Wyznacz dlugosci bokow tych kwadratow

7.Roznica kwadratow pewnych liczb naturalnych wynosi 340 a ich srednia arytmetyczna jest rowna 17. Jakie to liczby?

Answer 1

z.1

f(x) = x^2 + k x + k + 2

Liczba  ( -4) jest miejscem zerowym danej funkcji, zatem f( -4) = 0, czyli

(- 4)^2 + k*(-4) + k + 2 = 0

16 - 4 k + k + 2 = 0

- 3 k = - 18  /  : ( - 3)

k = 6

====

zatem  f( x) = x^2 + 6 x + 8

===========================

delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4*1*8 = 36 - 32 = 4

p(delty) = 2

x1 = [ -6 - 2]/2 = - 8/2 = - 4

x2 = [ -6 + 2]/2 = -4/2 = - 2

Odp. Drugim miejscem zerowym jest liczba x2 = - 2.

=================================================

z.2

f(x) = - x^2 + 5 x - 6

x = 0  ,  y = - 6

czyli  A = ( 0; - 6)

y = 0  , więc  - x^2 + 5 x - 6 = 0

delta = 5^2 - 4*(-1)*(-6) = 25 - 24 = 1

x = [ -5 -1 ]/(-2) = -6/(-2) = 3

lub

x = [ -5 + 1]/(-2) = -4/(-2) = 2

czyli

B = ( 3; 0)  oraz  C = ( 2 ; 0 )

Mamy trójkąt ABC

Pole tego trójkąta

P = (1/2) a*h

gdzie

a = I CB I = 3 - 2 = 1

h = 0 - ( -6) = 6

czyli

P = (1/2)*1*6 = 3

===================

z.3

f(x) = x^2 - x - 6

delta = (-1)^2 - 4*1*(-6) = 1 + 24 = 25

p (delty) = 5

x1 = [ 1 - 5]/2 = -4 /2 = - 2

x2 = [ 1 + 5]/2 = 6/2 = 3

a = 1 > 0   - zatem ramiona paraboli ( wykresu danej funkcji ) są skierowane

ku górze.

Mamy

1)

f(x) > 0  dla x  < -2   lub dla x > 3

czyli dla x  z  sumy przedziałów:  ( - oo; -2) u ( 3 ; + oo )

2)  f(x) > = 0  dla  x z sumy przedziałów: ( - oo; - 2 > u < 3 ; + oo )

3)

f(x) > 14

x^2 - x - 6 > 14

x^2 - x - 20 > 0

delta = (-1)^2 - 4* 1 *(-20) = 1 + 80 = 81

p(delty) = 9

x = [ 1 - 9]/2 = - 8/2 =- 4

lub  x = [ 1 + 9]/2 = 10/2 = 5

zatem

f(x) > 14  dla x < - 4  lub  x > 5  czyli dla x z sumy przedziałów:

( - oo; - 4)  u ( 5; + oo )

========================

4)

f(x) < - 4

x^2 - x - 6 < - 4

x^2 - x - 2 < 0

delta = (-1)^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9

p( delty) = 3

x = [ 1 - 3]/2 = - 1    lub   x = [ 1 + 3]/2 = 2

zatem

f(x) < - 4  dla  x   z  przedziału  ( -1 ;  2 )

=========================================

z.4

a)  f(x) = x^2 - x - 6

p = -b/(2a) = 1 /2

Oś symetrii paraboli  ma równanie  x = p

czyli w tym przypadku

x = 1/2

============

b)  f(x) = - x^2 + 6 x - 8

p = - b/(2a) = -6 / (-2) = 3

Oś symetrii ma równanie:

x = 3

=========

 

z.5

f(x) = x^2 - 2 x - 6

g(x) = - x^2 + x - 4

f(x) > g(x)

zatem

x^2 - 2 x - 6 > - x^2 + x - 4

2 x^2 - 3 x - 2 > 0

-----------------------

delta = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 +16 = 25

p(delty) = 5

x1 = [ 3 - 5]/4 = -2/4 = -0,5

x2 = [ 3 + 5]/2 = 8/2 = 4

a= 2 > 0

zatem

2 x^2 - 3 x - 2 > 0  dla  x  należących do  ( - oo, -0,5 ) u ( 4 ; + oo )

czyli f (x) > g(x)   dla  x  należących do  ( - oo; - 0,5 ) u ( 4 ; + oo )

==========================================================

z.6

a = 2x

b = 2x + 2

c = 2x + 4

zatem

a^2 + b^2 + c^2 = 776

(2x)^2 + (2x +2)^2 = (2x + 4)^2 = 776

4 x^2 + 4 x^2 + 8 x + 4 + 4 x^2 + 16 x + 16 = 776

12 x^2 + 24 x + 20 = 776

12 x^2 + 24 x - 756 = 0  / : 12

x^2 + 2 x - 63 = 0

-----------------------

delta = 2^2 - 4*1*(-63) = 4 + 252 = 256

p (delty) = 16

x = [ -2 + 16]/2 = 14/2 = 7

x = 7

zatem

a = 2*7 = 14

b = 14 +2 = 16

c = 16 + 2 = 18

Te kwadraty mają boki o długościach: 14 , 16, 18 jednostek.

=======================================================

z.7

x, y - dane liczby naturalne; x > y

Mamy

x^2 - y^2 =  340

[ x + y ] /2 = 17  / * 2

-------------------------------

x^2 - y^2 = 340

x + y = 34  => y = 34 - x

----------------------------------

x^2 - ( 34 - x)^2 = 340

x^2 - ( 1156 - 68 x + x^2) = 340

x ^2 - 1 156 + 68 x - x^2 = 340

68 x = 340 + 1 156

68 x =1 496

x = 22

=======

y = 34 - 22 = 12

===============

Odp. Te liczby to:  22  i  12 .

==============================