Question

Zapisz funkcję kwadratową w postaci kanonicznnej dla kazdej z funkcji wyznacz :zbior wartości,rownanie osi symetri wykresu,wartosc najmniejsza lub najwieksza
a)y=3x²-3x
b)y=x²+4x+5x
c)2x²+4x+2
d)y=-x²-6x-9

Answer 1

A)y=3x²-3x

Wierzchołek oznaczę współrzędnymi p i q, czyli W(p,q). p, to pierwsza współrzędna wierzchołka (czyli leży na osi OX), a q, to druga współrzędna (oś OY).

p=-b/2a
podstawiamy do wzoru:
p=-(-3)/6
p=3/6
p=1/2 - to pierwsza współrzędna wierzchołka.

q=-Δ/4a
liczymy Δ ze wzoru: Δ=b²-4ac
Δ=(-3)²-4*3
Δ=9-12
Δ=-3
q=3/4*3
q=3/12
q=1/4 - to druga współrzędna wierzchołka.

Oznacza to, że wierzchołek ma współrzędne W(½,¼)

Współrzędne te przydadzą nam się do ustalenia postaci kanonicznej, która wygląda następująco:
y=a(x-p)²+q
po podstawieniu postać kanoniczna tej funkcji kwadratowej to:
y=3(x-½)²+¼

Współczynnik a jest dodatni, więc ramiona wykresu skierowane są w górę, co daje nam Zbiór wartości: ZWf=<¼,+nieskończoności). Do zbioru wartości funkcji wzięliśmy drugą współrzędną wierzchołka, czyli nasze q.

Równanie osi symetrii wykresu to x=½. Jak widzisz, skorzystaliśmy tu z pierwszej współrzędnej wierzchołka.

Wartością najmniejszą (wracamy do drugiej współrzędnej wierzchołka) jest y=¼.

Gdy mamy do czynienia z wartościami, to odczytujemy je z osi OY.

Dalszych przykładów już nie tłumaczę, bo są robione tą samą metodą.


b)y=x²+4x+5x (czy tu na pewno na końcu jest 5x, a nie po prostu 5?). Jeśli jest 5, to rozwiązanie jest następujące:

p=-b/2a
p=-4/2
p=-2

q=-Δ/4a
Δ=b²-4ac
Δ=4²-4*5
Δ=16-20
Δ=-4
q=4/4
q=1

W(-2,1)

postać kanoniczna: y=(x+2)²+1

ZWf=<1,+nieskończoność)
równanie osi symetrii wykresu: x=-2
wartość najmniejsza: y=1

c)2x²+4x+2

p=-b/2a
p=-4/4
p=-1

q=-Δ/4a
Δ=b²-4ac
Δ=16-16
Δ=0
q=0

W(-1,0)

postać kanoniczna: y=2(x+1)²
ZWf=<0,+nieskończoność>
równanie osi symetrii: x=-1
wartość najmniejsza: y=0


d)y=-x²-6x-9

p=-b/2a
p=6/-2
p=-3

q=-Δ/4a
Δ=b²-4ac
Δ=(-6)²-4*(-1)*(-9)
Δ=36-36
Δ=0
q=0

W(-3,0)

postać kanoniczna: y=-(x+3)²

Ramiona tutaj już są zwrócone w dół, bo współczynnik a jest ujemny. Zmienia się nam więc schemat szukania zbioru wartości funkcji. Teraz szukamy go od dołu, do punktu wierzchołka, a nie na odwrót tak, jak wcześniej.

ZWf= (-nieskonczoność,0>
równanie osi symetrii: x=-3
wartość największa: y=0