Question

Wyznacz wierzchołki B i D rombu ABCD o polu równym 8 wiedząc, że A i C są punktami przecięcia okręgu y² + x² -4x-4y+6 = 0 z prostą x-y=0

Odp.: B = (4. 0), D = (0,4) .

Answer 1

P = 8

 

y^2 + x^2 - 4 x - 4 y + 6 = 0

x - y = 0  =>  y = x

---------------

Wstawiam do I  równania  x  za y:

x^2 + x^2 - 4 x - 4 x + 6 = 0

2 x^2 - 8 x + 6 = 0  / : 2

x^2 - 4 x + 3 = 0

-----------------------

delta = ( -4)^2 - 4*1*3 = 16 - 12 = 4

p( delty) = 2

x = [ 4 - 2]/2 = 1    lub   x = [ 4 + 2]/2 = 3

więc

y = 1                      lub   y = 3

oraz  A = ( 1; 1) ,  C = ( 3; 3)

==============================

Punkty A  i  C leżą na prostej o równaniu  y = x

zatem punkty B  i  D  leżą na prostej prostopadłej do pr AC i przechodżącej

przez środek odcinka AC

S  - środek AC

xs = ( 1 + 3)/2 = 2 ; ys = ( 1 + 3)/2 = 2

S = ( 2; 2)

-----------------

Mamy

I AC I^2 = ( 3 - 1)^2 + ( 3 - 1)^2 =2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 4*2

więc

I AC I = 2 p(2)

Pole rombu ABCD

P = 8

zatem

(1/2) IAC I* I BDI = 8

(1/2)*2 p(2)* I BDI = 8

I BD I = 8 : p(2) = 4 p(2)

-------------------------------

więc  I BS I = 0,5 * I BD I = 2 p(2)

Przez punkty B,S,D  przechodzi prosta prostopadła do pr AC , zatem

1*a2 = - 1

a2 = - 1

y = - x + b

Wstawiam  2 za x  i 2  za y, bo  S = ( 2; 2)

2 = - 2 + b

b = 4

y = - x + 4   - równanie prostej  BD

----------------------------------------------

Niech  B = ( x; y) ; gdzie  y = - x + 4

I BS I^2 = ( 2 - x)^2 + (2 - y)^2 = 4 - 4 x + x^2 + ( 2 - ( -x + 4))^2 =

= 4 -  4 x + x^2 + ( x - 2)^2 = 4 - 4 x + x^2 + x^2 - 4 x + 4 = 2 x^2 - 8 x + 8

ale  I BS I =  2 p(2)

więc I BS I^2 = 8

czyli

2 x^2 - 8 x + 8 = 8

2 x^2 - 8 x = 0 / : 2

x^2 - 4 x = 0

x*( x - 4) = 0

x = 0   lub  x = 4

czyli  y = - x + 4 = 0 + 4 = 4  lub  y = - 4 + 4 = 0

 

Odp.  B = ( 4; 0) , D = ( 0; 4)

==========================