Question

Proszę o pełne rozwiązania do podpunktów

Answer 1

Zad. 13.    (x -3) (x² + 4x -m ) > 0

 

  A.  Dla   m < -4  nie ma rozwiazan ujemnych.

       Np.   m = -6

              (x-3)(x² + 4x + 6) > 0

          Miejsca zerowe:   x-3 =0 ,         x² + 4x + 6 = 0

                                          x = 3             Δ = 16 - 24 < 0

       Jest tylko jedno miejsce zerowe, wiec wykres (wezyk) przechodzi przez punkt x= 3.

       Zatem funkcja przyjmuje  tylko wartosci >0 dla x >3.  Ujemnych rozwiazan nie ma.

        Odp.  TAK.

B.  m = 3,     (x-3)(x² + 4x -3)  > 0

                    x-3=0           x²+4x-3 = 0

                     x = 3            Δ = 16 + 12 = 28,    √Δ = 2√7,       x₁ = (-4+2√7)/2 = -2+√7

                                                                                                    x₂ = (-4-2√7)/2 = -2 -√7

      Umieszczajac miejsca zerowe na osi w kolejnosci:   -2- √7,    -2 + √7 ,    3

      rysujemy wezyk od prawej strony od gory i otrzymujemy rozwiazanie nierownosci:

       x ∈ ( -2-√7,  -2+√7 ) U ( 3, ∞).

    Odp.   NIE.

C.   m = 0,        (x-3)(x²+4x) > 0

                          x³ + 4x² - 3x² -12x > 0

                          x³ + x² - 12x > 0  ,       co nalezalo otrzymac.

      Odp.  TAK.

D.   Zbior rozwiazan:    (-7, 3) U ( 3, ∞).          (x-3)(x² + 4x -m) > 0

     Ze zbioru rozwiazan wynika, ze miejsca zerowe to  x = 3 i x = -7.

        Czyli   dla x = 7 :    x² + 4x -m = 7² + 4·7 -m = 49 + 28 -m = 21 -m

                    21 -m = 0     ⇒  m = 21

   Po podstawieniu:   (x-3)(x² + 4x - 21) > 0

                                    x-3 = 0  ,      x² + 4x - 21 = 0

                                     x₁ = 3              Δ = 16 + 84 = 100,    √Δ = 10,    x₂ = 3  ,   x₃ = -7

      Liczda x= 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym, czyli wykres sie odbija od osi X.

      Zatem na podstawie wykresu  x ∈ (-7, 3) U (3, ∞).

     Odp.  TAK.

                          (x+1)² (x -1)

Zad.  18.    s = ------------------                             D :    x ≠ -11

                              x + 11   

      A.   nierownosc  s < 0 nie ma rozwiazan calkowitych dodatnich

                (x+1)² (x -1)

              ---------------- < 0

                     x + 11

 

          (x+1)² (x-1) (x+11) < 0

            x+1=0 ,   x-1 = 0,    x+11 = 0

             x = -1,     x = 1 ,        x = -11

             (dwukr.)           

Na podstawie wykresu mamy:    x ∈ (-11, -1) U ( -1, 1).

Odp.  TAK .

B.   s ≥ 0    x∈ (-∞,-11) U < 1, ∞)

      Z wykresu z punktu A  odczytujemy rozwiazanie:

        x ∈ (-∞, -11) U /-1/  U <1, ∞ )

Odp.  NIE.

C.            x - 1                            Najmniejsza liczba calkowita spelniajaca nierownosc to  - 10.

        s ≤ ---------

                 x + 11

                                                      Zalozenie.    x ≠  -11

(x+1)²(x-1)              x-1

--------------  ≤  -------

    x + 11                x + 11

 

(x +1)² (x-1)  - ( x -1)

----------------------  ≤ 0

        x + 11

(x² + 2x +1)( x-1) - (x-1)

--------------------------≤ 0

         x + 11

 

(x-1) (x²+2x+1-1) (x+11) ≤ 0

(x-1) ( x² + 2x ) ( x + 11) ≤ 0

x ( x-1) (x +2) (x + 11) ≤ 0

x=0,   x-1=0,    x+2=0,    x+11 =0

             x=1        x= -2       x = -11

Z wykresu odczytujemy rozwiazanie:     x ∈  ( -11, -2> U < 0, 1 >

Najmniejsza liczba calkowita  w tych przedzialach to  -10.

Odp.  TAK.

            1

D.     -----  ≤ 0                 Nierownosc ma  13 calkowitych rozwiazan.

            s 

     x+11

   --------------- ≤ 0

     (x+1)² (x-1)                                Zalozenia:     x≠ -1.   x ≠ 1

  (x+11)(x+1)² (x-1)  ≤ 0

   x +11 =0,   x+1 =0,    x-1 =0

     x = -11       x = -1        x = 1

                        (dwukr.)

Na podstawie wykresu odczytujemy rozwiazanie nierownosci:    

   x ∈ < -11, -1 ) U (-1, 1 )     i x ∈ C   ⇒ x∈ / -11, -10- -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, 0 /

Czyli jest 11 rozwiazan calkowitych tej nierownosci.

Odp.   NIE.

 

Zad.  19.     I I x - 4 I - 3 I = m                 Zal.  m ≥ 0

       

A. Ma rozwiazanie dla kazdego  m.

  Odp. NIE  (gdyz m  jako wartosc bezwzgledna nie moze byc liczba ujemna).

B.  Moze miec 4 rozwiazania.

     Np. m = 1.

      I I x-4 I -3 I = 1

      I x -4I -3 = 1                   ∨                      I x -4 I -3 = -1

       I x-4I = 4                                                 I x -4 I = 2

    x - 4 = 4       ∨    x - 4 = -4        ∨    x -4 = 2      ∨    x -4 = -2

      x = 8                    x = 0                      x = 6                  x = 2

    Odp.     TAK.

C.   m = 3          Sa 2 rozwiazania.

      I I x - 4 I -3 I = 3

     I x-4I -3 = 3                       ∨               I x-4 I - 3 =  -3 

     I x - 4 I = 6                          ∨               I x - 4 I = 0

 x - 4 = 6   V   x - 4 = -6          V             x -4 = 0

   x = 10           x =  -2                              x = 4

    Sa 3 rozwiazania.

   Odp.   NIE.

D.    Dla  m> 3  rownanie ma 2 rozwiazania, ktorych odleglosc  od punktu 4  na osi liczbowej jest rowna   m + 3.

   Np.  m = 4.

     I I x-4I - 3 I = 4

    I x - 4I  - 3 = 4                        ∨            I x -4I - 3 = -4

    I x -4 I = 7                                ∨           I x - 4 I = -1

 x-4 = 7    ∨   x -4 = -7                               brak rozwiazania

    x = 11          x = -3  

 Spr.     m+3 = 4 + 3 = 7

      I 11 - 4 I = I7I = 7,                   I4 - (-3) I = I 4+3I = I7I = 7

  Odp.   TAK.