Question

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

1) Dane są dwa zdarzenia A, B należy do omegi takie, że P(A) = 0,25 i P(B) = 0,(6).

Wykaż, że :

a) jest możliwe, żę P(B\A) 0,5

b) P(B\A) >= 0,2

c) P(AnB) <= 0,(3)

2) W urnie jest 5 białych kul i n czarnych. Losujemy dwie kule. Jakie może być n, aby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych kul było większe od 0,25 ?

3) Ile wynosi prawdopodobieństwo, że liczby oczek uzyskane w szęsciu kolejnych rzutach kostką tworzą ciąg arytmetyczny ???

Liczę na rzetelne rozwiązania. ;-)

Answer 1

1)  P(A) = 0,25 = ¼ = ³/₁₂ ,        P(B) = 0,(6) = 6/9 = ⅔ = ⁸/₁₂

a)   Wykaz, ze jest mozliwe, ze  P(B/A) ≤ 0,5.

      Korzystamy ze wzoru:    P(B/A) = P(B) - P(BnA)

      P(BnA) moze miec maksymalnie wartosc  ³/₁₂ , w przypadku, gdy zbior A bedzie podzbiorem zbioru B.  Zatem   P(BnA)  ≤ ³/₁₂  ,   a wtedy  P(B/A) = ⁸/₁₂ - ³/₁₂ = ⁵/₁₂  < 0,5.

   Czyli  dana nierownosc jest mozliwa.

 b)  Wykaz, ze P(B/A) ≥ 0,2.

      P(B/A) = P(B) - P(BnA) =  jak w p. a) =  ⁵/₁₂ = ²⁵/₆₀

      0,2 = ⅕ = ¹²/₆₀    < ²⁵/₆₀

   Czyli  P(B/A) ≥ 0,2,    c.n.d.

c)   P(AnB) ≤ 0,(3),        0,(3) = ³/₉ = ⅓ = ⁴/₁₂

      Z punktu a) wiemy, ze  P(AnB) ≤ ³/₁₂,    a   ³/₁₂ < ⁴/₁₂,     Czyli   P(AnB) ≤ ⁴/₁₂ ,  a wiec  P(AnB) ≤ 0,(3).

       C.n.d.

2)   A - zdarzenie, ze wylosowano 2 kule biale

    5  - ilosc kul bialych,    n -  ilosc kul czarnych,   n+5   -   laczna ilosc kul

   P(A) > 0,25,         n = ?    

 

    Tu najwygodniej jest skorzystac z drzewka, ale nie majac  mozliwosci narysowania, uzyje 

    wzorow na kombinacje.

   I ω I - ilosc wszystkich mozliwych zdarzen   

                         n+5            (n+5)!                        (n+5)!                  (n+3)!· (n+4)(n+5)

IωI = C²₅₊n = (    2      ) =  ------------------ = ------------ =  ----------------------- =

                                            2! · (n +5 -2)!            2 (n+3)!                  2(n+3)!

 

      (n+4)(n+5)

 = -----------------

          2

 

IAI  -  ilosc zdarzen sprzyjajacych zdarzeniu  A

                       5         5!                     3! · 4 · 5              20

IAI = C²₅ = (   2 )   = ---------  =  --------------  =  ------  =  10 

                                   2! · 3!               2 · 3!                    2

             IAI                    10                      20

P(A) = -------  =  --------------- = ----------------

             IωI             (n+4)(n+5)            (n+4)(n+5)

                               ------------

                                      2

                                          20

P(A) > ¼      ⇔         ---------------  > ¼

                                   (n+4)(n+5)

           20

---------------  - ¼  > 0                  Sprowadzamy  ulamki do wspolnego mianownika.

    (n+4)(n+5)                                

 

      80 -   (n+4)(n+5)                                          80 - n²-5n -4n -20

------------------------  > 0                         --------------------------  > 0                      

         4(n+4)(n+5)                                                  4(n+4)(n+5)

   Iloraz zamieniamy na iloczyn:

 

4( -n² -9n + 60)(n+4)(n+5)  > 0                                               -n² -9n +60 = 0

-4(n+4,5-0,5√321 )(n+4,5+0,5√321)(n+4)(n+5) >0                      Δ = 81 + 240 = 321,    √Δ = √321

                                                                                                   n₁ = (9-√321)/(-2) = -4,5 +0,5√321

                                                                                                   n₂ = (9+√321)/(-2) = -4,5 - 0,5√32 

Umieszczajac na osi liczbowej otrzymane miejsca zerowe, w kolejnosci od lewej:

-4,5-0,5√321  ,    -5  ,    -4  ,    -4,5+0,5√321

rysujemy  "wezyk"  od strony prawej  od dolu, przecinajac miejsca zerowe.

Nastepnie odczytujemy przedzialy, w ktorych wartosci sa dodatnie (powyzej osi).

Uwzgledniajac zalozenie , ze  n∈ N⁺,  otrzymamy  odp:    n ∈ / 1, 2, 3, 4 /

(tj .  zbior 4 liczb).

 

3)  6 rzutow kostka szescienna

A - zdarzenie, ze liczby oczek w 6 rzutach tworza ciag arytmetyczny

   ( a₁, a₂, a₃,a₄ , a₅ , a₆ )   -   ciag  arytmetyczny

 

IωI =  6⁶

A =  /  (1,1,1,1,1,1),  (2,2,2,2,2,2),  (3,3,3,3,3,3), (4,4,4,4,4,4), (5,5,5,5,5,5), (6,6,6,6,6,6),

           (1,2,3,4,5,6),  (6,5,4,3,2,1)  /

IAI = 8      (ilosc zdarzen sprzyjajacych, czyli ilosc mozliwych ciagow arytmetycznych)

                IAI            8                8                  1

P(A) =   ------- =  ------ = ----------   = --------

                IωI            6⁶          46656            5832