Question

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym . Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n.

Answer 1

Skorzystam z indukcji matematycznej. Pierwszą z liczb naturalnych dodatnich, jest 1. Dla jedynki to wyrażenie przyjmuje wartość 0
 
Co też spełnia zależność, której prawdziwość mamy wykazać. Daje nam to punkt zaczepienia. Teraz piszemy i podstawiamy za n. Jeśli udowodnimy, że ten wyraz spełnia zależność , to udowodnimy to dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich. Będzie tak dlatego, że w podstawianym , zakładamy, iż jest liczbą, która spełnia podane warunki, zaś całe wyrażenie jest kolejną liczbą z ciągu liczb naturalnych dodatnich (1 jest liczbą naturalną dodatnią; naturalna dodatnia + naturalna dodatnia = naturalna dodatnia). Teraz, gdy pokazaliśmy, że 1, czyli pierwsza naturalna dodatnia, spełnia warunki zadania, to nasze i udowodnienie, że pokaże, iż 2 także spełnia tą zależność. Wtedy wiedząc, że 2 spełnia daną zależność, wiemy z tego co udowodniliśmy, że 3 także spełnia tą zależność. Wiedząc, że 3 spełnia tą zależność, wiemy, że 4 spełnia tą zależność i tak w nieskończoność...

 

 

 





 

 

 

 

Wiemy, że zawsze jest liczbą naturalną dodatnią, a dodanie do niej liczby dodatniej, nie zmieni znaku wyrażenia i pozostanie ono dodatnie. I to jest koniec dowodu.

P.S. Dwa razy użyłem obustronnego podniesienia do potęgi drugiej. Można tego tutaj uzyc, ponieważ w obu przypadkach obie strony równania były dodatnie dla danej dziedziny.