Skorzystam z indukcji matematycznej. Pierwszą z liczb naturalnych dodatnich, jest 1. Dla jedynki to wyrażenie przyjmuje wartość 0 Co też spełnia zależność, której prawdziwość mamy wykazać. Daje nam to punkt zaczepienia. Teraz piszemy i podstawiamy za n. Jeśli udowodnimy, że ten wyraz spełnia zależność , to udowodnimy to dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich. Będzie tak dlatego, że w podstawianym , zakładamy, iż jest liczbą, która spełnia podane warunki, zaś całe wyrażenie jest kolejną liczbą z ciągu liczb naturalnych dodatnich (1 jest liczbą naturalną dodatnią; naturalna dodatnia + naturalna dodatnia = naturalna dodatnia). Teraz, gdy pokazaliśmy, że 1, czyli pierwsza naturalna dodatnia, spełnia warunki zadania, to nasze i udowodnienie, że pokaże, iż 2 także spełnia tą zależność. Wtedy wiedząc, że 2 spełnia daną zależność, wiemy z tego co udowodniliśmy, że 3 także spełnia tą zależność. Wiedząc, że 3 spełnia tą zależność, wiemy, że 4 spełnia tą zależność i tak w nieskończoność...
Wiemy, że zawsze jest liczbą naturalną dodatnią, a dodanie do niej liczby dodatniej, nie zmieni znaku wyrażenia i pozostanie ono dodatnie. I to jest koniec dowodu.
P.S. Dwa razy użyłem obustronnego podniesienia do potęgi drugiej. Można tego tutaj uzyc, ponieważ w obu przypadkach obie strony równania były dodatnie dla danej dziedziny.
Skorzystam z indukcji matematycznej. Pierwszą z liczb naturalnych dodatnich, jest 1. Dla jedynki to wyrażenie przyjmuje wartość 0
i podstawiamy za n. Jeśli udowodnimy, że ten wyraz spełnia zależność
, to udowodnimy to dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich. Będzie tak dlatego, że w podstawianym
, zakładamy, iż
jest liczbą, która spełnia podane warunki, zaś całe wyrażenie
jest kolejną liczbą z ciągu liczb naturalnych dodatnich (1 jest liczbą naturalną dodatnią; naturalna dodatnia + naturalna dodatnia = naturalna dodatnia). Teraz, gdy pokazaliśmy, że 1, czyli pierwsza naturalna dodatnia, spełnia warunki zadania, to nasze
i udowodnienie, że
pokaże, iż 2 także spełnia tą zależność. Wtedy wiedząc, że 2 spełnia daną zależność, wiemy z tego co udowodniliśmy, że 3 także spełnia tą zależność. Wiedząc, że 3 spełnia tą zależność, wiemy, że 4 spełnia tą zależność i tak w nieskończoność...
![2(\sqrt{n_x^2+3n_x+2})<1+2(\sqrt{n_x^2+2n_x+2}) 2(\sqrt{n_x^2+3n_x+2})<1+2(\sqrt{n_x^2+2n_x+2})](https://tex.z-dn.net/?f=2%28%5Csqrt%7Bn_x%5E2%2B3n_x%2B2%7D%29%3C1%2B2%28%5Csqrt%7Bn_x%5E2%2B2n_x%2B2%7D%29)
![4(n_x^2+3n_x+2)<1+4(\sqrt{n_x^2+2n_x+2})+4(n_x^2+2n_x+2) 4(n_x^2+3n_x+2)<1+4(\sqrt{n_x^2+2n_x+2})+4(n_x^2+2n_x+2)](https://tex.z-dn.net/?f=4%28n_x%5E2%2B3n_x%2B2%29%3C1%2B4%28%5Csqrt%7Bn_x%5E2%2B2n_x%2B2%7D%29%2B4%28n_x%5E2%2B2n_x%2B2%29)
zawsze jest liczbą naturalną dodatnią, a dodanie do niej liczby dodatniej, nie zmieni znaku wyrażenia i pozostanie ono dodatnie. I to jest koniec dowodu.
Co też spełnia zależność, której prawdziwość mamy wykazać. Daje nam to punkt zaczepienia. Teraz piszemy
Wiemy, że
P.S. Dwa razy użyłem obustronnego podniesienia do potęgi drugiej. Można tego tutaj uzyc, ponieważ w obu przypadkach obie strony równania były dodatnie dla danej dziedziny.