Question

1) Spośród liczb 1,2,3,4,5 losujemy bez zwracania dwie liczby. Jeżeli A oznacza zdarzenie, że suma wylosowanych liczb jest parzysta, a B zdarzenie, że suma wylosowanych liczb dzieli się przez 3, to oblicz P(A), P(B) i P(B\A).

2)Wiadomo, że P(A'nB') = 1/3 , P(A) = 1/3 i P(AnB) = 1/4. Ile wynosi prawdopodobieńśtwo zdarzenia (A' n B) i (AuB) ?

3)W zbiorze liczb całkowitych n>= 2 nierówność ( ) < 6 jest spełniona przez :

a) liczby, których suma wynosi 5

b) dokładnie 2 liczby

c) liczby których suma jest parzysta

Należy wybrać odp. wśród A,B i C.

Answer 1

1)   Losujemy  2 liczby   sposrod  liczb:    1, 2, 3, 4, 5.

     A - zdarzenie, ze suma liczb jest parzysta

     B - zdarzenie, ze suma liczb dzieli sie przez 3

A = /  (1,3) , (1,5), (2,4), (3,1), (3,5), (4,2), (5,1), (5,3) /,           I A I = 8

B = / (1,2), (1,5), (2,1),(2,4), (4,2) (4,5), (5,1), (5,4) /,                        IBI = 8

B/A = /  (1,2), (2,1), (4,5), (5,4) /                                                         I B/A I = 4

 

I ω I = 5 · 4 = 20           (z reguly mnozenia)

             I A I          8           2

P(A) = ------ =   ------ = ----

              I ω I        20         5

 

             I B I            8            2

P(B) =  ------- = ------- = ----

             I ω I            20          5

 

                  I B/A I              4               1

P(B/A)  =  ----------- = -------- =  ----

                    I ω I                20             5

 

 

 

2)  P(A' n B' ) = ⅓   ,    P(A) = ⅓ ,     P(AnB) = ¼

 

      P(A') = 1 - P(A) = 1 - ⅓ = ⅔

P(AUB) = 1 - P(A'nB') = 1 - ⅓ = ⅔

P(A'nB) = 1 - P(A) = 1 - ⅓ = ⅔

 

3)         n

        (            ) < 6

           n - 2                                         Zal.    n ≥ 2         

        n!

-----------------  - 6 < 0

(n-2)! · (n-n+2)!

 

        (n-2)! (n-1)n

--------------------  - 6 < 0

    (n-2)! · 2

 

                  n(n-1)

                 --------  -6  < 0       /·2

                      2

     n(n-1) - 12 < 0

      n² - n -12  < 0                   Δ = 1 + 48 = 49,       √Δ = 7

                                             n₁ = 4,   n₂ = -3

  Z wykresu paraboli skierowanej ramionami w gore odczytujemy przedzial, w ktorym wartosci

  sa ujemne  (ponizej osi).  Jest to przedzial:    n∈ ( -3, 4). Ale z zalozenia  n≥ 2,  czyli 

   rozwiazaniem nierownosci sa tylko 2 liczby:   2 i 3.

Odp.  Poprawne sa odpowiedzi  a)  oraz  b).