Oblicz: po obszarze V={}.... Question from @Terdzik

December 2018 1 77 Report

Oblicz: $\int\ \int \int \frac{1}{2} dxdydz$ po obszarze
V={ $x^{2} +y^{2}+z^{2} \leq 1, z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ }

MrPolygon Na początek musimy zobaczyć na rysunku, jak wygląda nasz obszar V (załącznik). Jest on ograniczony dwiema powierzchniami.

Powierzchnia o równaniu $x^2+y^2+z^2=1$ jest sferą o promieniu 1 i ogranicza nasz obszar od góry (na rysunku kolor czerwony).

Powierzchnia o równaniu $z=\sqrt{x^2+y^2}$ jest powierzchnią stożkową i ogranicza nasz obszar od dołu (na rysunku kolor zielony).

Obszar V jest więc wycinkiem kuli. Całkowanie będzie wobec tego najwygodniej przeprowadzić na współrzędnych sferycznych $(\varphi,\psi,\varrho)$ .

$\varphi$ jest kątem, jaki "zajmuje" nasz obszar wokół ozi OZ. Widzimy, że jest to kąt pełny, więc $\varphi\in\langle0,2\pi\rangle$ .

$\psi$ to kąta nachylenia obszaru nad poziomą płaszczyzną OXY. Widzimy, że powierzchnia stożkowa "nachyla się" pod kątem 45⁰, a obszar V jest nad nią, aż do pionu, więc zakres kąta nachylenia to $\psi\in\langle\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\rangle$ .

$\varrho$ to promień naszego obszaru V. Skoro jest od fragmentem wnętrza kuli o promieniu 1, to $\varrho\in\langle0,1\rangle$ .

Wzór na zamianę współrzędnych w całce na sferyczne jest następujący:

$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\;\;dxdydz=\\\\=\iiint\limits_{\Omega}f(\varrho\cos\varphi\cos\psi,\varrho\sin\varphi\cos\psi,\varrho\sin\psi)\varrho^2\cos\psi{}\;\;d\varrho{}d\varphi{}d\psi$

gdzie f jest funkcją podcałkową, która na szczęście w naszym przypadku jest stała i równa 1/2.

Zatem, korzystając z twierdzenia o całkowaniu funkcji o rozdzielonych zmiennych, dostajemy:

$\iiint\limits_{V}\;\frac{1}{2}\;dxdydz=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}d\psi\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{2}\varrho^2\cos\psi\;\;d\varrho=\\\\{}\\=(\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi)\cdot(\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\psi\;d\psi)\cdot(\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{2}\varrho^2\;d\varrho)=\\{}\\\\=\Big[\varphi\Big]_0^{2\pi}\cdot\Big[\sin\psi\Big]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cdot\Big[\frac{1}{6}\varrho^3\Big]_0^1=$

$=(2\pi-0)\cdot(\sin\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{4})\cdot(\frac{1}{6}\cdot1^3-\frac{1}{6}\cdot0^3)=\\\\=2\pi\cdot(1-\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot\frac{1}{6}=\\\\{}\\\\=\dfrac{\pi(2-\sqrt{2})}{6}$

1 votes Thanks 0

Wyznacz wartość parametru m, dla której podana równość jest tożsamością

Answer

terdzik November 2018 | 0 Replies

Uzasadnij twierdzenie dla każdego

Answer

terdzik November 2018 | 0 Replies

Udowodnić, że między obwodem a+b+c, a promieniem R koła opisanego na trójkącie zachodzi związek :Wskazówka :Wykorzystać twierdzenie sinusów oraz .

Answer

terdzik November 2018 | 0 Replies

W urnie jest dwa razy więcej kul białych niż czarnych. Losujemy z urny jednoczesnie dwie kule. Ile jest wszystkich wyników tego losowania? Ile jest wyników losowania w którym wylosujemy kule różnych kolorów?

Answer

terdzik November 2018 | 0 Replies

Wierzchołki kwadratu ABCD leżą na bokach kwadratu EFGH, a boki kwadratu ABCD tworzą z bokami kwadratu EFGH kąty odpowiednio równe 60 i 30 stopni. Obliczyć stosunek pól tych kwadratów.

Answer

terdzik November 2018 | 0 Replies

Punkt A = (2,-1) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Dwa boki równoległoboku zawierają się w prostych o równaniach 3x-y-2=0 i 2x+y-8=0. Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków równolegloboku i obliczyć jego pole.

Answer

Wyznacz wartość parametru m, dla której podana równość jest tożsamością

Uzasadnij twierdzenie dla każdego

Udowodnić, że między obwodem a+b+c, a promieniem R koła opisanego na trójkącie zachodzi związek :Wskazówka :Wykorzystać twierdzenie sinusów oraz .

W urnie jest dwa razy więcej kul białych niż czarnych. Losujemy z urny jednoczesnie dwie kule. Ile jest wszystkich wyników tego losowania? Ile jest wyników losowania w którym wylosujemy kule różnych kolorów?

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnyma) oblicz b) zbadaj monotonicznośc ciągu

Wyznacz wartości parametru k, dla których dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Dla jakich a suma kwadratów pierwiastków rzeczywistych równania osiąga najmniejszą wartość?

Prosta równoległa do podstawy trójkąta dzieli jego pole na równe części. W jakim stosunku dzieli ona jego boki?

Wierzchołki kwadratu ABCD leżą na bokach kwadratu EFGH, a boki kwadratu ABCD tworzą z bokami kwadratu EFGH kąty odpowiednio równe 60 i 30 stopni. Obliczyć stosunek pól tych kwadratów.

Punkt A = (2,-1) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Dwa boki równoległoboku zawierają się w prostych o równaniach 3x-y-2=0 i 2x+y-8=0. Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków równolegloboku i obliczyć jego pole.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social