Question

Dla jakich a suma kwadratów pierwiastków rzeczywistych równania

osiąga najmniejszą wartość?

Answer 1

1 warunek. delta wieksza badz rowna 0
delta = a^2-4*(-a+3) = a^2 +4a - 12
a^2 +4a - 12 wieksze badz rowne 0
delta a = 16 - 4*(-12) = 16 +48 = 64
pierwiastek z delty = 8
a1 = -4-8/2*1 = -12/2 = -6
a2 = -4+8/2*1 = 4/2 = 2
a nalezy (-nieskonczonosci; -6> w sumie <2; +nieskończoność)

2 warunek. 
x1^2+x2^2 najmniejsza wartosc

x1^2+x2^2 = (x1+x2)^2 - 2x1x2 = (z wzorów vieta) (-a/1)^2 - 2*(-a+3)/1 = a^2+2a - 6

rownanie ma wspolczynnik a dodatni wiec ramiona paraboli do gory. Najmniejsza wartosc funkcja ta przyjmuje w wierzcholku czyli

xmin = p = -2/2*1 = -2/2 = -1

wierzcholek tej paraboli nie spelnia warunku pierwszego. wiec najmniejsza wartosc jest w przedziale a nalezy (-nieskonczonosci; -6> w sumie <2; +nieskończoność)

dla a = -6
 a^2+2a - 6 = 36-12-6 = 24-6 = 18
dla a = 2
 a^2+2a - 6 = 4 +4 - 6 = 2
najmniejsza wartosc dla a =2