Dany jest ciąg o wyrazie ogólnyma) oblicz b) zbadaj monotonicznośc ciągu.... Question from @terdzik

wik8947201 Na poczatek uproscimy wzor na n-ty wyraz ciagu
$\\S=1+3+5+...+(2n+1)
\\.
\\2S=1+2+3+4+5+...+2n+(2n+1)+(2n+2)
\\.
\\\frac{2n+2}{2}=n+1
\\.
\\2S=(2n+2)*(n+1) /:2
\\S=(n+1)*(n+1)=(n+1)^2$

II sposob: Dowod indukcyjny
$\\1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)^2
\\1. \ Spr. \ dla \ n=1
\\(n+1)^2=2^2=4, \ 1+3=4
\\L=P
\\Zalozenie:
\\1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)^2
\\Teza:
\\dla \ n=k+1
\\1+3+5+...+(2k+1)+(2k+3)=(k+2)^2
\\Dowod:
\\1+3+5+...+(2k+1)+(2k+3)=(k+1)^2+(2k+3)=
\\k^2+2k+1+2k+3=k^2+4k+4=(k+2)^2 \ c.n.d.$

Wzor na n-ty wyraz ciagu przyjmie postac:
$\\a_n=\frac{(n+1)^2}{n+2}-n=\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{n+2}
\\.
\\a_n=\frac{1}{n+2}
\\a)
\\a_{98}=\frac{1}{98+2}=\frac{1}{100}
\\b)
\\a_{n+1}=\frac{1}{n+3}
\\.
\\a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+2}=\frac{n+2-n-3}{(n+2)(n+3)}=
\\-\frac{1}{(n+2)(n+3)}<0 \ \implies \ ciag \ \{a_n\}\ malejacy$

1 votes Thanks 5

animaldk $a_n = \frac{1+3+5+...+(2n+1)}{n+2} -n\\\\3+5+...+(2n+1)-suma\ ciagu\ arytmetycznego,\ bo:\\\\b_n=2n+1;\ b_{n+1}=2(n+1)+1=2n+2+1=2n+3\\\\b_{n+1}-b_n=2n+3-(2n+1)=2n+3-2n-1=2=const.\\\\b_1=3;\ r=2\\\\S_{b_n}=\frac{2\cdot3+(n-1)\cdot2}{2}\cdot n=\frac{6+2n-2}{2}\cdot n=\frac{4+2n}{2}\cdot n=(n+2)\cdot n=n^2+2n$

$a_n=\frac{n^2+2n+1}{n+2}-n=\frac{n^2+2n+1-n(n+2)}{n+2}=\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{n+2}=\frac{1}{n+2}$

$a)\ a_{98}=\frac{1}{98+2}=\frac{1}{100}\\\\b)\ a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)+2}=\frac{1}{n+3}\\\\a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+2}=\frac{n+2}{(n+3)(n+2)}-\frac{n+3}{(n+3)(n+2)}\\\\=\frac{n+2-n-3}{(n+3)(n+2)}=\frac{-1}{(n+3)(n+2)}<0-c.\ malejacy$

©DRK

3 votes Thanks 1

Oblicz: po obszarze V={}

Wyznacz wartość parametru m, dla której podana równość jest tożsamością

Uzasadnij twierdzenie dla każdego

Udowodnić, że między obwodem a+b+c, a promieniem R koła opisanego na trójkącie zachodzi związek :Wskazówka :Wykorzystać twierdzenie sinusów oraz .

W urnie jest dwa razy więcej kul białych niż czarnych. Losujemy z urny jednoczesnie dwie kule. Ile jest wszystkich wyników tego losowania? Ile jest wyników losowania w którym wylosujemy kule różnych kolorów?

Wyznacz wartości parametru k, dla których dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Dla jakich a suma kwadratów pierwiastków rzeczywistych równania osiąga najmniejszą wartość?

Prosta równoległa do podstawy trójkąta dzieli jego pole na równe części. W jakim stosunku dzieli ona jego boki?

Wierzchołki kwadratu ABCD leżą na bokach kwadratu EFGH, a boki kwadratu ABCD tworzą z bokami kwadratu EFGH kąty odpowiednio równe 60 i 30 stopni. Obliczyć stosunek pól tych kwadratów.

Punkt A = (2,-1) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Dwa boki równoległoboku zawierają się w prostych o równaniach 3x-y-2=0 i 2x+y-8=0. Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków równolegloboku i obliczyć jego pole.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social