Question

4.3. Wyznacz współczynniki funkcji y=ax²+bx+c, wiedząc, że osiąga ona wartość największą dla x=3 oraz że jej wykres przechodzi przez punkty (0,0) i (4,16). Wynik to a=-2,b=12, c=0. Proszę o rozwiązanie do wyniku.

Answer 1

Zacznijmy:

postać ogólna funkcji kwadratowej:
y=ax²+bx+c

wykorzystajmy to, że funkcja przechodzi przez punkt (0,0) i podstawmy jego współrzędne do równania:
0=a*0+b*0+c
czyli wychodzi nam że c=0 i już mamy ułatwienie, bo wzorek funkcji będzie wyglądał tak: y=ax²+bx

podstawiamy teraz współrzędne drugiego punktu (4,16)
16=a*4²+b*4
16=16a+4b
zastopujmy teraz i przyjrzyjmy się wartości największej dla x=3, oznacza to, że funkcja ma w punkcie x=3 wierzchołek, czyli musi mieć ramionka skierowane w dół a co dalej za tym idzie współczynnik a napewno będzie ujemny

skoro w punkcie 3 jest wierzchołek to skorzystajmy ze wzorku na obliczenie tej współrzędnej:
3=-b/(2a)
6a=-b
b=-6a

wrócmy teraz do równanka:
16=16a+4b
wykorzystajmy co mamy wyżej, że b=-6a
16=16a+4*(-6a)
16=16a-24a
16=-8a
a=-2

16=16a+4b
16=-32+4b
48=4b
b=12

czyli a=-2, b=12, c=0