Witam mam poprawke z matmy:-)prosze o jak najprostsze rozwiązanie zadań z wytłumaczeniem w miare możliwości:-) Zadania z działu geometria analityczna
Dziękuje:-)
zad1)Odcinek o końcach A(-4;-2)oraz B(2;10)podzielono na cztery odcinki równej długości.Oblicz wspórzędne punktów podziału.
zad2)Dana jest prosta k:3x-4y+7=0 oraz punkt A(-4;1)
a)napisz równanie ogólne prostej l,przechodzącej przez punkt A
-równoległej do prostek k
-prostopadłej do prostej k
b)oblicz odległość punktu A od prostej k
zad3)W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj okrąg o danym równaniu:(x=3)²+y²=16
zad4)Wyznacz wspólrzędne środka i długość promienia okręgu o równaniu: x²+y²-2x+4y=4
zad5)Oblicz współrzędne punktów wspólnych prostej
k:y=½ i okręgu o równaniu x²+y²-6x=0
zad6)
Nie wykonując rysunku określ:
a)wzajemne położenie okręgów o równaniach:
x²+y²-4x+2y+4=0 oraz x²+y²-8y=0
b)wzajemne położenie prostej k:y=2x-3 względem okręgu o równaniu x²+y²=4
z.1
A = ( -4; -2), B = ( 2; 10)
Niech punkty C, D, E - dzielą odcinek AB na 4 równe odcinki.
D = ( x1; y1) - środek odcinka AB
więc
x1 = ( - 4 + 2)/2 = -2/2 = - 1
y1 = ( - 2 + 10)/2 = 8/2 = 4
D = ( - 1; 4)
==========
C = ( x2; y2) - środek odcinka AD
więc
x2 = ( - 4 + (-1))?2 = -5/2 = - 2,5
y2 = ( - 2 + 4)/2 = 2/2 = 1
C = ( -2,5; 1 )
===============
E = ( x3; y3) - środek odcinka DB
więc
x3 = ( - 1 + 2)/2 = 1/2
y3 = ( 4 + 10)/2 = 14/2 = 7
E = ( 1/2; 7 )
================
Odp.
C = ( -2,5 ; 1), D = ( -1; 4), E = ( 1/2 ; 7)
============================================
z.2
k : 3 x - 4 y + 7 = 0
A = ( -4; 1)
l - prosta równoległa do k przechodząca przez A = ( - 4; 1)
4y = 3 x + 7 / : 4
y = (3/4) x + 7/4
------------------------
y = ( 3/4) x + b - dowolna prosta równoległa do k
1 = (3/4)*(-4) + b
1 + 3 = b
b = 4
y = (3/4) x + 4 / * 4
4 y = 3 x + 16
Odp.
3 x - 4 y + 16 = 0 - równanie prostej l
================
Prosta prostopadła do k
k : y = (3/4) x + 7/4
a1*a2 = - 1
czyli
(3/4)*a2 = - 1
a2 = - 4/3
y = ( -4/3) x + b1 - równanie dowolnej prostej prostopadłej do k
1 = ( -4/3)*(-4) + b1
1 = 16/3 + b1
b1 = 3/3 - 16/3 = - 13/3
y = ( - 4/3) x - 13/3 / * ( -3)
- 3 y = 4 x + 13
Odp.
l2 : 4 x + 3 y + 13 = 0 - równanie prostej prostopadłej do k
====================
b)
k : 3 x - 4 y + 7 = 0
A = ( - 4; 1)
zatem
d = I 3*( -4) + (-4)*1 + 7 I / p( 3^2 + ( -4)^2 )
d = I - 12 - 4 + 7 I / p( 9 + 16) = I - 9 I / p( 25) = 9/5 =1,8
Odp. d = 1,8
===================
z.3
( x + 3)^2 + y^2 = 16
czyli
( x + 3)^2 + ( y - 0)^2 = 4^2
zatem
S = ( - 3; 0) - środek tego okręgu
r = 4 - promień tego okręgu
============================
Korzystamy z równania okręgu w postaci : ( x - a)^2 + ( y - b)^2 = r^2
gdzie ( a; b) = S - środek okręgu; r - promień okręgu
--------------------------------------------------------------------------------
z.4
x^2 + y^2 - 2 x + 4 y = 4
( x - 1)^2 - 1 + ( y + 2)^2 - 4 = 4
( x - 1)^2 + ( y+ 2)^2 = 9 = 3^2
zatem
S = ( 1 ; - 2); r = 3
====================
z.5
k : y = 1/2
x^2 + y^2 - 6 x = 0
zatem
x^2 + (1/2)^2 - 6 x = 0
x^2 - 6 x + 1/4 = 0
-------------------------
delta = ( -6)^2 - 4*1*(1/4) = 36 - 1 = 35
x1 = [ 6 - p(35)]/2 = 3 - 0,5 p(35)
x2 = [ 6 + p(35)]/2 = 3 + 0,5 p(35)
y1 = y2 = 1/2
zatem
A = ( 3 - 0,5 p(35) ; 0,5)
B = ( 3 + 0,5 p(35); 0,5 )
A, B - punkty wspólne prostej i okręgu.
========================================
z.6
a)x^2 + y^2 - 4 x + 2 y + 4 = 0
( x - 2)^2 - 4 + ( y + 1)^2 - 1 + 4 = 0
( x - 2)^2 + ( y + 1)^2 = 1
zatem
S1 = ( 2; - 1) oraz r1 = 1
---------------------------------
x^2 + y^2 - 8 y = 0
( x - 0)^2 + ( y - 4)^2 - 16 = 0
( x - 0)^2 + ( y - 4)^2 = 4^2
zatem
S2 = ( 0; 4) oraz r2 = 4
-------------------------------
I S1 S2 I^2 = ( 0 -2)^2 = ( 4 - (-1))^2 = 4 + 25 = 29
I S1 S2 I = p(29) = około 5,38
oraz r1 + r2 = 1 + 4 = 5
Mamy
I S1 S2 I > r1 + r2
Okręgu są rozłączne zewnętrznie.
===================================
b)
k : y = 2 x - 3
x^2 + y^2 = 4
Mamy
x^2 + ( 2 x - 3)^2 = 4
x^2 + 4 x^2 - 12 x + 9 = 4
5 x^2 -12 x + 5 = 0
-------------------------
delta = ( -12)^2 - 4*5*5 = 144 - 100 = 44 > 0
Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki, zatem prosta ma z okregiem 2 punkty wspólne.
===============