Prosze on proste rozwiazanie wraz w \wytlumaczeniem(z jakiego wzoruj lub przeksztalcenia korzystasz1.... Question from @wiola16164

September 2018 1 34 Report

Prosze on proste rozwiazanie wraz w \wytlumaczeniem(z jakiego wzoruj lub przeksztalcenia korzystasz

1)Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=1/4x (caly ulamek)do kwadratu +x-8

a)wyznacz miejsca zerowe funkcji f

b)Rozwiąż nierówność f(x)>-8

c)Wyznacz najwieksza oraz najmniejsza wartosc funkcji f w przedziale <1;3>

2)Napisz wzór funkcji kwadratowej, jeśli wiadomo, że do jej wykresu nalezy punkt A(1,3) i dla argumentu 2 funkcja osiaga swoja najwiekszą wartość równą 4

3)Liczbe osób zwiedzającyc wystawę n-tego dnia od momentu jej otwarcia opisuje wzór:

W(n)= -4n do kwadratu + 48n - 24 gdzie n nalezy (1,2,.......,11)

Odpowiedz na pytania:

a)W ktorym dniu wystawe odwiedziło najwięcej osób?

b)Ile osób odwiedziło wystawę podczas jej trwania?

4)Dana jest funkcja f(x)= 1/2 x(samo x)do kwadratu +bx-3

a)wyznacz b tak aby najmniejsza wartosc funkcji wynosiła (-4)

b)wyznacz b tak aby najwiekszy zbior w ktorym funkcja jest malejaca byl rowny przedzialowi (od minus nieskonczonosci ;6)

c) Wyznacz b tak,by wierzcholek paraboli, która jest wykresem tej funkcji nalezal do prostej o rownaniu y=2x

Z góry dziekuje;-)

Roma

Zad. 1

$f(x)=(\frac{1}{4}x )^2+x-8 = \frac{1}{16}x ^2+x-8$

$a = \frac{1}{16}; \ b = 1; \ c = - 8$

a) Miejsca zerowe

$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot \frac{1}{16} \cdot (-8) = 1 + 2 = 3; \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{3}$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{-1 - \sqrt{3}}{\frac{1}{8}} = (-1 - \sqrt{3}) \ : \ \frac{1}{8} = (-1 - \sqrt{3}) \cdot 8 =$

$= -8 - 8\sqrt{3}$

$x_2 = \frac{-b +- \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{\frac{1}{8}} = (-1+ \sqrt{3}) \ : \ \frac{1}{8} = (-1+ \sqrt{3}) \cdot 8 =$

$= -8 + 8\sqrt{3}$

Odp. Miejsca zerowe funkcji: x₁ = - 8 - 8√3 i x₂ = - 8 + 8√3.

Rozwiąż nierówność f(x) > - 8

$\frac{1}{16}x ^2+x-8 > - 8$

$\frac{1}{16}x ^2+x-8 +8 > 0$

$\frac{1}{16}x ^2+x > 0$

$x \cdot (\frac{1}{16}x +1) > 0$

Znajdujemy miejsca zerowe:

$x \cdot (\frac{1}{16}x +1) = 0$

$x = 0 \vee \frac{1}{16}x +1 = 0$

$x = 0$

$lub$

$\frac{1}{16}x +1 = 0$

$\frac{1}{16}x = - 1 \ / \cdot 16$

$x = - 16$

Miejsca zerowe to x₁ = 0 i x₂ = - 16

Rysujemy parabolę przechodzącą przez miejsca zerowe, ramiona skierowne w górę, bo a = ¹/₁₆ > 0 i z wykresu (patrz załącznik) odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

Odp. $x \in (-\infty; \ -16) \cup (0; \ +\infty)$

Największa oraz najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <1;3>

$f(x) = \frac{1}{16}x ^2+x-8$

$a = \frac{1}{16}; \ b = 1; \ c = - 8$

Obliczamy wartości funkcji f na końcach przedziału:

$f(1) = \frac{1}{16} \cdot 1 ^2+1-8 = \frac{1}{16} \cdot 1+1-8 = \frac{1}{16} +1-8 = -6\frac{15}{16}$

$f(3) = \frac{1}{16} \cdot 3^2+3-8 = \frac{1}{16} \cdot 9+3-8 = \frac{9}{16} +3-8 = -4\frac{7}{16}$

Obliczamy pierwszą współrzędną p wierzchołka paraboli:

$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{-1}{\frac{1}{8}} = -1 \ : \ \frac{1}{8} = - 1 \cdot 8 = - 8 \not \in \langle 1; \ 3 \rangle$

Ponieważ p nie należy do przedziału <1; 3> to najmniejsza wartość funkcji f w danym przedziale wynosi - 6¹⁵/₁₆, natomiast największa - 4⁷/₁₆.

Odp. W przedziale <1; 3> najmniejsza wartość funkcji f wynosi - 6¹⁵/₁₆, a największa - 4⁷/₁₆.

Zad. 2

f(x) = ax² + bx + c

A = (1, 3) ∈ y = ax² + bx + c

y = ax² + bx + c

3 = a·1² + b·1 + c

a·1 + b + c = 3

a + b + c = 3

f(2) = 4 jest największą wartością funkcji f

Jeśli funkcja przyjmuje największą wartość, to jej ramiona muszą być skierowane w dół, a największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku W = (p; q), zatem W = (2; 4), czyli p = 2, q = 4 stąd:

$p = \frac{-b}{2a} \rightarrow \frac{-b}{2a} = 2$

$q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-(b^2-4ac)}{4a}= \frac{-b^2+4ac}{4a}= \rightarrow \frac{-b^2+4ac}{4a} = 4$

Stąd:

$\begin{cases} a+b+c=3\\\frac{-b}{2a} = 2 \ / \cdot 2a \\\frac{-b^2+4ac}{4a} = 4 \ / \cdot 4a \end{cases}$

$\begin{cases} a+b+c=3\\ -b = 4a \ / \cdot (-1) \\ -b^2+4ac = 16a \end{cases}$

$\begin{cases} a+b+c=3\\ b = -4a \\ -b^2+4ac = 16a \end{cases}$

$\begin{cases} a-4a+c=3\\ b = -4a \\ -(-4a)^2+4ac = 16a \end{cases}$

$\begin{cases}-3a+c=3\\ b = -4a \\ -16a^2+4ac = 16a \end{cases}$

$\begin{cases}c=3+3a\\ b = -4a \\ -16a^2+4a \cdot (3+3a) = 16a \end{cases}$

Rozwiążemy trzecie równanie tego układu:

$-16a^2+4a \cdot (3+3a) = 16a$

$-16a^2+12a+12a^2- 16a = 0$

$-4a^2-4a= 0 \ / \ : \ (-4)$

$a^2+a= 0$

$a \cdot (a+1)= 0$

$a = 0 \vee a+1= 0$

$a = 0 \ odrzucamy, \ bo \ f(x) \ to \ kwadratowa, czyli \ a \neq 0$

$a + 1 = 0$

$a = - 1$

zatem

$\begin{cases}a = - 1\\ b = -4a \\ c=3+3a \end{cases}$

$\begin{cases}a = - 1\\ b = -4 \cdot (-1) \\ c=3+3 \cdot (-1) \end{cases}$

$\begin{cases}a = - 1\\ b = 4 \\ c=3-3 \end{cases}$

$\begin{cases}a = - 1\\ b = 4 \\ c=0 \end{cases}$

Odp. Wzór szukanej funkcji kwadratowej ma postać: f(x) = - x + 4x

Zad. 3

W(n)= - 4n² + 48n - 24, n ∈{1,2,...,11}

a) W którym dniu wystawę odwiedziło najwięcej osób?

Wzór opisujący liczbę osób zwiedzającyc wystawę n-tego dnia od momentu jej otwarcia jest funkcją, zatem jeśli a = - 4 < 0 to funkcja ta największą wartość przyjmuje w wierzchołku W = (p; q)

a = - 4; b = 48; c = - 24

$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-48}{2 \cdot (-4)} = \frac{-48}{-8} = 6$

Odp. Wystawę najwięcej osób odwiedziło szóstego dnia.

b) Ile osób odwiedziło wystawę podczas jej trwania?

W(1) + W(2) W(3) + W(4) + W(5) + W(6) + W(7) + W(8) W(9) + W(10) + W(11) = - 4·1² + 48·1 - 24 - 4·2² + 48·2 - 24 - 4·3² + 48·3 - 24 - 4·4² + 48·4 - 24 - 4·5² + 48·5 - 24 - 4·6² + 48·6 - 24 - 4·7² + 48·7 - 24 - 4·8² + 48·8 - 24 - 4·9² + 48·9 - 24 - 4·10² + 48·10 - 24 - 4·11² + 48·11 - 24 = - 4 · (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 + 121) + 48·(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11) + (- 24) · 11 = - 4 · 506 + 48 · 66 - 264 = - 2024 + 3168 - 264 = 880

Odp. Wystawę podczas jej trwania odwiedziło 880 osób.

Zad. 4

$f(x)= \frac{1}{2}x^2 +bx-3$

$a = \frac{1}{2}; \ b = ?; \ c =-3$

a) Wyznacz b tak, aby najmniejsza wartość funkcji wynosiła (- 4)

f(x) = - 4 jest najmniejszą wartością funkcji

Jeśli funkcja przyjmuje najmiejszą wartość, to jej ramiona muszą być skierowane w górę (a = ½ > 0), a najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku W = (p; q), czyli q = - 4

Zatem

$q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-(b^2-4ac)}{4a}= \frac{-b^2+4ac}{4a}$

$\frac{-b^2+4ac}{4a} = -4$

$\frac{-b^2+4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-3)}{4 \cdot \frac{1}{2}} = -4$

$\frac{-b^2-6}{2} = -4 \ / \cdot 2$

$-b^2-6 = -8$

$-b^2= -8 +6$

$-b^2= -2 \ / \cdot (-1)$

$b^2= 2$

$b = \sqrt{2} \vee b = -\sqrt{2}$

Odp. Dla b = √2 lub b = - √2 funkcja $f(x)= \frac{1}{2}x^2 +bx-3$ osiąga najmniejszą wartość, która wynosi - 4.

b) Wyznacz b tak, aby największy zbiór, w którym funkcja jest malejąca byl równy przedziałowi (-∞; 6)

Jeśli a = ½ > 0 to funkcja jest malejąca dla x ∈ (- ∞, p)

Zatem p = 6

$p = \frac{-b}{2a}$

Stąd

$\frac{-b}{2a} = 6$

zatem

$\frac{-b}{2\cdot \frac{1}{2}} = 6$

$\frac{-b}{1} = 6$

$-b= 6 \ / \cdot (-1)$

$b = -6$

Odp. Dla b = - 6 największy zbiór, w którym funkcja jest malejąca byl równy przedziałowi (-∞; 6).

c) Wyznacz b tak, by wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji należał do prostej o równaniu y = 2x

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

$W = (p; \ q) = (\frac{-b}{2a}; \ \frac{-b^2+4ac}{4a})$

Stąd

$W = (\frac{-b}{2 \cdot \frac{1}{2}}; \ \frac{-b^2+4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-3)}{4 \cdot \frac{1}{2}}) = (\frac{-b}{1}; \ \frac{-b^2-6}{2}) = (-b; \ -\frac{1}{2} b^2-3)$