Question

W trójkącie ABC, A(2,0), B(-4,2), C(2,6) środkowe AL oraz BK przecinają się w punkcie M. Oblicz cosinus kąta przy wierzchołku M w trójkącie ABM oraz cosinus kąta przy wierzchołku C w trójkącie ABC.

{Przyjmuję tylko dokładne i pełne rozwiązanie.}

Answer 1

W trójkącie ABC, A(2,0), B(-4,2), C(2,6) środkowe AL oraz BK przecinają się w punkcie M. Oblicz cosinus kąta przy wierzchołku M w trójkącie ABM oraz cosinus kąta przy wierzchołku C w trójkącie ABC.

K=(2+2/2;6+0/2)
K=(2;3)

L=(-4+2/2;2+6/2)
L=(-1;4)

M to punkt przecięcia prostych BK i AL
BK:
y=ax+b
2=-4a+b /*(-1)
3=2a+b

-2=4a-b
3=2a+b
----------
1=6a
a=1/6
b=2 i 2/3

y=1/6x+2 i 2/3

AL:
y=ax+b
0=2a+b
4=-a+b /*(-1)

0=2a+b
-4=a-b
---------
-4=3a
a=-4/3
b=2 i 2/3

y=-4/3x+2 i 2/3

M=?
y=-4/3x+2 i 2/3
y=1/6x+2 i 2/3

-4/3x+2 i 2/3=1/6x+2 i 2/3
x=0
y=2 i 2/3
M=(0;2 i 2/3)

IBAI=√6²+2²=√40=2√10
IBMI=√4²+(2/3)²=√16 i 4/9=√148/9=2/3 √37
IAMI=√2²+(2i 2/3)²=√4+64/9=√100/9=10/3

cos∢BMA=?

(2√10)²=(2/3 √37)²+(10/3)²-2*2/3 √37*10/3*cos∢BMA
40=148/9+100/9-40/9 √37*cos∢BMA
40/9 √37*cos∢BMA=40-248/9
40/9 √37*cos∢BMA=112/9 /*9/8
5 √37*cos∢BMA=14
cos∢BMA=14:5 √37
cos∢BMA=14 √37/185