Question

Dwa boki trójkąta mają długości 6 i 10. Oblicz długość trzeciego boku, jeżeli wiadomo, że środkowa poprowadzona do tego boku ma długość 6.

Answer 1

Oznaczmy boki ΔABC:
AC=6
CB=10
D- środek szukanego boku AB, czyli AD=DB
CD=6 (długość środkowej)
Narysujmy wysokość CE trójkata ΔACD opuszczoną na bok AD.
AC=CD, więc ΔACD jest równoramienny oraz AE=ED
Oznaczmy połowę boku AB przez x, czyli AB=2x
Prostokątny ΔCED ma boki ktorych kwadraty z tw. Pitagorasa wynoszą:
CD²=6²=36, ED²=(x/2)² oraz CE²=CD²-ED²=36-(x/2)²

ΔCEB też jest prostokątny, którego kwadraty boków są następujące:
CE²=36-(x/2)²
EB²=(3x/2)²
CB²=10²=100
Z pitagorasa układamy równanie:
CE²+EB²=CB²
36-(x/2)² + (3x/2)² = 100
36-x²/4 + 9x²/4 = 100
8x²/4=64
2x²=64
x²=32
x=√32=√(16*2)=4√2
Więc AB=2x=8√2
Może jest jakiś prostszy sposób, ale coś nie przyszło mi nic do głowy...

Odp. Trzeci bok ma długość 8√2