Wewnątrz trójkąta ABC położony jest punkt P. Proste AP, BP, CP przecinają boki trójkąta odpowiednio w punktach K, L, M. Sprawdź, czy prawdziwa jest równość: AP/PK=AL/LC+AM/MB
Roma
Jest to twierdzenie van Aubela dla trójkąta PΔ - pole trójkąta Należy dowieść, że AP/PK = AL/LC + AM/MB
ΔABC i ΔPBC mają wspólny bok BC, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowy ich wysokości, czyli AK/PK = PΔABC/PΔBCP stąd AP+PK/PK = PΔAPC + PΔAPB + PΔBCP/PΔBCP AP/PK + PK/PK = PΔAPC + PΔAPB/PΔPCP + PΔBCP/PΔBCP AP/PK + 1 = PΔAPC + PΔAPB/PΔPCP + 1 AP/PK = PΔAPC + PΔAPB/PΔPCP
ΔACM i ΔBCM mają one tę samą wysokość (opuszczoną ze wspólnego wierzchołka C), a zatem stosunek ich pól jest taki sam jak stosunek długości ich podstaw: AM/MB = PΔACM/PΔBMP = PΔAMP + PΔACP/PΔBMP + PΔBCP
W podobny sposób otrzymujemy też: AM/MB = PΔAMP/PΔBMP
PΔ - pole trójkąta
Należy dowieść, że AP/PK = AL/LC + AM/MB
ΔABC i ΔPBC mają wspólny bok BC, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowy ich wysokości, czyli
AK/PK = PΔABC/PΔBCP stąd
AP+PK/PK = PΔAPC + PΔAPB + PΔBCP/PΔBCP
AP/PK + PK/PK = PΔAPC + PΔAPB/PΔPCP + PΔBCP/PΔBCP
AP/PK + 1 = PΔAPC + PΔAPB/PΔPCP + 1
AP/PK = PΔAPC + PΔAPB/PΔPCP
ΔACM i ΔBCM mają one tę samą wysokość (opuszczoną ze wspólnego wierzchołka C), a zatem stosunek ich pól jest taki sam jak stosunek długości ich podstaw:
AM/MB = PΔACM/PΔBMP = PΔAMP + PΔACP/PΔBMP + PΔBCP
W podobny sposób otrzymujemy też:
AM/MB = PΔAMP/PΔBMP
Czyli
AM/MB = PΔACM/PΔBMP = PΔAMP + PΔACP/PΔBMP + PΔBCP = PΔAMP/PΔBMP
Po przekształceniu otrzymamy
1) AM/MP = PΔACP/PBCP
Analogicznie uzasadniamy równość
2) AL/LC = PΔAPB/ PΔBCP
Dodając stronami równości (1) oraz (2) otrzymujemy
AL/LC + AM/MB = PΔAPC + PΔAPB/PΔBCP = AP/PK
co było do udowodnienia