Question

Udowodnij, że jeżeli a, b, c są liczbami rzeczywistymi takimi, że
a² + b² + c² = 1, to
(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≤ 3.

Proszę o dokładne obliczenia. Rozwiązanie może być z załączniku lub normalnie. Powodzenia! ;P (Dam naj!)

Answer 1

Mamy:
a² + b² + c² = 1

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²) = (a + b + c)² - 1

(a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a² = 2(a² + b² + c²) - 2(ab + bc + ca) = 2 - 2(ab + bc + ca) = 2 - [(a + b + c)² - 1] = 3 - (a + b + c)²

ponieważ (a + b + c)² ≥ 0:
(a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 3 - (a + b + c)² ≤ 3

jak masz pytania to pisz na pw