Question

Udowodnij, że dla dowolnego n całkowitego 12|(n+2)(n-7)(n-9)(n-14). (Symbol a|b oznacza, że liczba b jest podzielna przez liczbą a.)

Proszę o dokładne obliczenia. Rozwiązanie może być z załączniku lub normalnie. Powodzenia! ;P (Dam naj!)

Answer 1

Rozwiązanie niezbyt ścisłe ale może wystarczy.

Wprowadźmy dla ułatwienia podstawienie y=n+2. Nie zmienia to sensu zadania a zapis będzie czytelniejszy.

12 | y(y-9)(y-11)(y-16)

Ok zacznijmy od prostego spostrzeżenia. Liczba jest podzielna przez 12 wtedy gdy jest podzielna równocześnie przez 3 i 4.

Najpierw załatwmy podzielnośc przez 4. Jeśli y jest parzysty to i y-16 jest parzysty, jeśli natomiast y-9 jest parzysty to i y-11 jest parzysty. Tak więc w każdym przypadku mamy iloczyn dwóch liczb parzystych który w efekcie jest podzielny przez 4.

Ok podzielnośc przez 3. Są 3 możliwe reszty z dzielenia przez 3. 0 - gdy liczba jest podzielna przez 3; 1 oraz 2.
Oznaczmy operator ' y mod 3' jako reszte z dzielenia liczby y przez 3.
Jeżeli y mod 3 = 0 to y jest podzielny przez 3 i sprawa załatwiona
Jeżeli y mod 3 = 1 to (y-16) mod 3 = 0 czyli tez mamy liczbe podzielną przez 3.
Jeżeli y mod 3 = 2 to (y-11) mod 3 = 0 czyli tak jak w przypadku 2.

Myśle że dosyć jasno Ci to wyjaśniłem. Jakby coś było niejasne to pisz PW.