Question

Udowodnij, że jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta, to:
a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac).

Proszę o dokładne obliczenia. Rozwiązanie może być z załączniku lub normalnie. Powodzenia! ;P (Dam naj!)

Answer 1

Z tw. cosinusów:
a² +b² +c² = 2a² +2b² +2c² -2bc cosα -2ac cos β -2 ab cosγ
czyli
a² +b² +c² = 2bc cosα + 2ac cosβ + 2ab cosγ
Ponieważ dla dowolnych α, β, γ jest
cos α ≤ 1 , cos β ≤ 1, cos γ ≤ 1
więc
2bc cos α < 2bc,
2ac cos β < 2ac,
2ab cos γ < 2ab
zatem
a² +b² +c² < 2ab + 2bc + 2ac
a² + b² + c² < 2*(ab + bc + ac)
=========================================
Tw. cosinusów
Jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta:
BC =a, AC = b, AB = c
oraz α = I∢AI, β = I∢B I, γ = I ∢ C I,
to
a² = b² + c² - 2bc cos α
b² = a² + c² - 2ac cos β
c² = a² + b² - 2ab cos γ
---------------------------------------------
Po dodaniu stronami otrzymamy
a² + b² + c² = 2a² + 2b² + 2c² -2bc cosα - 2ac cos β - 2ab cos γ