Question

Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi nie mniejszymi od 3. Wykaż, że wysokość tego trójkąta, opuszczona na bok o środkowej długości, dzieli go na odcinki, których różnica długości jest równa 4.

Proszę o dokładne obliczenia. Rozwiązanie może być z załączniku lub normalnie. Powodzenia! ;P (Dam naj!)

Answer 1

Trzy kolejne liczby całkowite to n, n+1, n+2 ,
gdzie n≥ 3 (nie mniejsze niż 3)
najkrótszy bok trójkąta ma długość n
średni bok trójkąta ma długość n+ 1
najdłuższy bok trójkąta ma długość n+ 2
Wysokość h została opuszczona na bok o środkowej długości,
czyli na bok n+1 i podzieliła go na dwa odcinki, które oznaczymy x i y (bok n+1= odcinek x+ odcinek y).
Po narysowaniu wysokości otrzymaliśmy dwa trójkąty prostokątne:
I trójkąt prostokątny ma jedną przyprostokątną o długości równej wysokości h, drugą przyprostokątną o długości równej odcinkowi x i przeciwprostokątną o długości równej bokowi najkrótszemu n
Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy równanie:
h²+ x²= n²,
h²= n²- x²
II trójkąt prostokątny ma jedną przyprostokątną o długości równej wysokości h, drugą przyprostokątną o długości równej odcinkowi y i przeciwprostokątną o długości równej bokowi najdłuższemu n+ 2
Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy równanie:
h²+ y²= (n+2)²
h²= (n+2)²- y²
Ponieważ z I) i II) mamy h²= n²- x² i h²= (n+2)²- y²,
więc
n²- x²= (n+2)²- y² {przenosimy na jedną stronę x² i y²}
y² - x²= (n+2)²- n² {korzystamy z wzorów skróconego mnożenia
a² - b²= (a-b)(a+b) , (a+b)²= a²+ 2ab+ b²}
(y-x)(y+x)= n²+ 4n+ 4 - n² {redukujemy wyrazy podobne}
(y-x)(y+x)= 4n+ 4 {wyłączamy 4 przed nawias}
(y-x)(y+x)= 4(n+ 1) {ponieważ bok n+1= x+y}
(y-x)(n+1)= 4(n+1) {obie strony dzielimy przez n+1}
y-x = 4,
czyli różnica odcinków, na które podzieliła wysokość bok środkowej długości jest równa 4, co należało wykazać.
Odp. Wysokość trójkąta o bokach, które są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi nie mniejszymi od 3, opuszczona na bok
o środkowej długości, dzieli ten bok na dwa odcinki,
których różnica długości jest równa 4.