Question

Prosze o rozwiązania tych zadań z obliczeniemi!

zad1,2,6,8,12,13,14,32,33

P.S W ZAD14 CHODZI O PIERWSZY WYRAZ CIĄGU:)

Answer 1

z.1

an = - n^2 + 3 n + 1

 

a3 = - 3^2 +3*3 + 1 = - 9 + 9 + 1 = 1

Odp. C

======

z.2

an = log 2 [ 2^n ]

zaten

a5 = log 2 i 2^5] = 5* log 2 [ 2] = 5*1 = 5

Odp. C

=======

z.6

an = 5^n / 3   więc  an+1 = 5^(n +1) / 3 = [ 5* 5^n]/3

czyli

q = an+1 : an = 5

Odp. A

=======

z.8

r = an+1 - an = [ 2(n +1) -a*(n +1)]/ 5  - [ 2n - an]/5 =

= [ 2n + 2 - a n - a ]/5 - [ 2 n -a n]/5 =

= [ 2n + 2 - a n - a - 2 n + a n]/5 = [2 - a]/ 5

[ 2 - a ] /5 > 0

2 - a > 0

a < 2

=======

Odp.B

=========

z.12

an  jest ciagiem arytmetycznym o różnicy  r = 2  , więc

an = a1 + ( n -1)*r = a1 + (n -1)*2 = a1 + 2 n - 2

natomiast

bn = 2 an + 1 = 2*[ a1 +2 n - 2 ] + 1 = 2 a1 + 4 n - 4 + 1 = 2 a1 + 4 n - 3

czyli

bn+1 = 2 a1 + 4*(n +1) - 3 = 2 a1 + 4 n + 4 - 3 = 2 a1 + 4 n + 1

Różnica ciągu  bn

r1 = bn+1 - bn = [ 2 a1 + 4 n + 1 ] - [ 2 a1 + 4 n - 3 ] =  4

czyli ciąg bn jest ciągiem arytmetycznym o różnicy   r1 = 4

Odp. A

========

z.13

 

an = 4* 9^( n -1)

 bn = log 3   an = log 3 [ 4* 9^(n -1)] = log3 [4 ] + log 3 [ 9^(n -1)] =

= log 3 [4 ] + (n -1) *log 3 [9] = log 3 [4] + (n -1)* 2 = log 3 [4] + 2 n - 2

więc

bn+1 = log 3 [ 4] + 2*(n +1) - 2 = log 3 [4] +  2n

Mamy więc

r = bn+1 - bn = [ log 3 [4] + 2 n] - [ log 3 [4] +2 n - 2 ] = 2

Czyli ciąg bn jest ciągiem arytmetycznym o różnicy   r  = 2

Odp. B

=======

z.14

Sn = n^2 - 2 n

zatem

a1 = S1 = 1^2 - 2*1 = 1 - 2 = - 1

Odp. A

===========

z.32

  log 4 [ 5 ] = m

więc

log 5 [ 16] = log 5 [ 4^2] = 2 log 5 [ 4] = 2 * [ 1/ log 4 [5] ] = 2/ log 4 [5] = 2/ m

 

======================================================================

z.33

x,y , z  - ciąg arytmetyczny

x + y + z = 15

natomiast

x, y -1, z   - ciąg geometryczny

Mamy

y = x + r

z = x + 2r

czyli

x + y + z = x + ( x + r) + (x + 2 r) =3 x + 3 r = 15

zatem

x + r = 5  = > r = 5 - x

y =x + r =  x + ( 5 - x) = 5

z = x + 2 r = x + 2*(5 - x) = x + 10 - 2 x = 10 - x

Ciąg geometryczny : x , y - 1 , z  można zapisać następująco

x, 4, 10 - x

Z def. ciągu geometrycznego mamy

4^2 = x*(10 -x)

16 = 10 x - x^2

x^2 - 10 x + 16 = 0

---------------------------

delta = (-10)^2 - 4*1*16 = 100 - 64 = 36

p(delty) = 6

x1 = [ 10 - 6]/2 = 4/2 = 2

x2 = [ 10 + 6]/2 = 16/2 = 8

zatem

z1 = 10 - x1 = 10 - 2 = 8

z2 = 10 - x2 = 10 - 8 = 2

Mamy więc dwa ciągi arytmetyczne:

1) 2,5,8

2) 8,5,2

a więc i dwa ciągi geometryczne:

1) 2,4,8

2) 8,4,2

czyli

q1 = 4/2 = 2   oraz   q2 = 4/8 = 1/2

Odp. Iloraz ciągu geometrycznego jest równy  2  lub  1/2.

======================================================