Question

Napisz równanie okręgu będącego obrazem tego okręgu (x+5)^2 + (y-2)^2 =9 w symetrii względem prostej y=2x+3

Prosze o pomoc

Answer 1

(x + 5)^2 + ( y - 2)^2 = 9

Mamy więc

S = ( - 5; 2)  i  r = 3

Wystarczy znależć obraz środka tego okręgu w symetrii względem prostej  o równaniu

y = 2x + 3

 

Przez punkt S = ( - 5; 2) prowadzimy prostą prostopadłą do danej prostej:

Mamy

2*a2 = - 1

a2 = - 1/2

y = ( -1/2) x + b2

Podstawiamy - 5 za  x  oraz 2  za y:

2 = ( -1/2)*(-5) + b2

2 = 2,5 + b2

b2 = - 0,5 = - 1/2

czyli

y = ( -1/2) x - 1/2

=================

Znajdujemy punkt wspólny tych prostych:

y = 2x + 3

y = (-1/2) x - 1/2

-------------------------

2x + 3 = - 0,5 x - 0,5  / * 2

4x + 6 = - x - 1

4x + x =- 1 - 6

5 x = - 7 / : 5

x = - 7/5

===========

y = 2*(-7/5) + 3 = -14/5 + 15/5 = 1/5

=================================

A = ( - 7/5 ; 1/5)

=================

A   iest środkiem odcinka  S S' , gdzie S'  jest obrazem punktu S

 Niech  S' = ( x1; y1)

zatem

( -5 + x1)/2 = - 7/5           i     ( 2 + y1)/2 = 1/5

-5 + x1 = -14/5                 i      2 + y = 2/5

x1 = 5 - 14/4                    i      y = 2/5 - 2

x1 = 25/5 -14/5 = 11/5     i      y = 2/5 - 10/5 = - 8/5

czyli  S' = (11/5 ;  -8/5)

Symetria osiowa zachowuje odległość punktów, zatem promień okręgu symetrycznego  będzie taki sam.

Odp.

(x - 11/5)^2 + ( y + 8/5)^2 = 9

============================