Question

Dla jakich wartości parametru k podane równanie ma dwa rozwiązania ?

a) 5x² +kx -5 = 0

b) x² +kx + 2k +1 = 0

Answer 1

a) 5 x² + k x - 5 = 0

Równanie ma 2 rozwiązania ( pierwiastki ) dla Δ > 0

Δ = k² - 4*5*(-5) = k² + 100 > 0  dla dowolnej liczby k ∈ R

Odp. k ∈ R

==============

b)

x² + k x +2k + 1 = 0

Δ = k² - 4*1*( 2k +1) = k² - 8k - 4

Równanie ma 2 pierwiastki dla Δ > 0

czyli

k² - 8k - 4 > 0

Δ1 = (-8)² - 4*1*(-4) = 64 + 16 = 80 = 16*5

√Δ1 = √80 = √16 * √5 = 4√5

k1 =[ 8 - 4√5]/2 = 4 - 2√5

k2 =[ 8 + 4√5]/2 = 4 + 2√5

Ponieważ a1 = 1 > 0

zatem k² - 8k - 4 > 0 <=> k ∈ ( - ∞ ; 4 - 2√5 ) u (4 + 2√5 : + ∞ )

Odp. k ∈ ( - ∞ ; 4 - 2√5 ) u ( 4 + 2√5 ; + ∞ )

========================================