Question

Czy istnieje prostopadłościan, w którym długości krawędzi są kolejnymi liczbami naturalnymi, a jego przekątna ma długość ? Odpowiedź uzasadnij.

Answer 1

Krawędzie prostopadłościanu:

a=n

b=n+1

h=n+2

gdzie n jest liczbą naturalną

 

Przekątna prostopadłościanu:

x=pierwiastek(a^2+b^2+h^2)

x=pierwiastek((n^2+(n+1)^2+(n+2)^2)

x=pierwiastek(n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4)

 

Z warunku zadania x=pierwiastek(15), zatem

pierwiastek(n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4)=pierwiastek(15)

(n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4)=15

3n^2+6n+5=15

3n^2+6n+5-15=0

3n^2+6n-10=0

 

delta=36-4*3*(-10)=156

pierwiastek(delta)=pierwiastek(156)=2*pierwiastek(39)=12,49 (w przybl.)

 

Pierwiastek(156) jest liczbą niewymierną, zatem równanie ma 2 rozwiązania niewymierne: dodatnie i ujemne.

Ujemne odrzucamy od razu, bo długość nie może być mniejsza od zera.

Rozwiązanie dodatnie: tu długość jest większa od zera, ale jest liczbą niewymierną, czyli nie należy do zbioru liczb naturalnych.

Zatem nie ma takich 3 kolejnych liczb naturalnych które spełniają warunki zadania.