Question

1.Znajdź wszystkie wielokąty mające tyle samo boków i przekątnych.
2. Znajdź wszystkie wielokąty, w których liczba przekątnych jest 5 razy większa od liczby boków.
3. Znajdź takie dwa wielokąty, które w sumie mają 17 boków i 49 przekątnych.

Answer 1

p=n(n-3)/2

 

 

1.

n=n(n-3)/2 |*2

2n=n(n-3)

2n=n²-3n

n²-3n-2n=0

n²-5n=0

 

Δ=(-5)²-4*1*0

Δ=25

√Δ=5

 

n₁=(-(-5)-5)/(2*1)

n₁=0/2

n₁=0

 

n₂=(-(-5)+5)/(2*1)

n₂=10/2

n₂=5

 

Jest tylko jeden taki wielokąt - pięciokąt.

 

2.

5n=n(n-3)/2 |*2

10n=n(n-3)

10n=n²-3n

n²-3n-10n=0

n²-13n=0

 

Δ=(-13)²-4*1*0

Δ=169

√Δ=13

 

n₁=(-(-13)-5)/(2*1)

n₁=8/2

n₁=4

 

n₂=(-(-13)+5)/(2*1)

n₂=18/2

n₂=9

 

Są dwa takie wielokąty - czworokąt i dziewięciokąt

 

3.

n₁+n₂=17

n₁(n₁-3)/2+n₂(n₂-3)/2=49

 

n₁=17-n₂

n₁(n₁-3)/2+n₂(n₂-3)/2=49 |*2

 

n₁=17-n₂

n₁(n₁-3)+n₂(n₂-3)=98

 

n₁=17-n₂

n₁²-3n₁+n₂²-3n₂=98

 

(17-n₂)²-3(17-n₂)+n₂²-3n₂=98

289-34n₂+n₂²-51+3n₂+n₂²-3n₂=98

2n₂²-34n₂+140=0

 

Δ=(-34)²-4*2*140

Δ=1156-1120

Δ=36

√Δ=6

 

n₂₁=(-(-34)-6)/(2*2)

n₂₁=28/4

n₂₁=7

 

n₂₂=(-(-34)+6)/(2*2)

n₂₂=40/4

n₂₂=10

 

n₁+7=17

n₁=17-7

n₁=10

 

n₁+10=17

n₁=17-10

n₁=7

 

n₁=n₂ a więc jest tylko jedna para takich wielokątów. Są to siedmiokąt i dziesięciokąt.