Question

10. Wierzchołkami czworokąta są środki dwóch okręgów przecinających się oraz punkty ich przecięcia. Środki okręgu leżą w odległości 25, zaś ich promienie mają długośći 20 i 15 Jakiej długości są odcinki, na które się dzielą się przekątne czworokąta?
11. Długości boków trójkąta ABC są równe 36,63 i 81. Wyznacz długości boków trójkąta A'B'C' podobnego do danego , którego obwód jest równy 40.
12. Najkrótsze boki dwóch wielokątów podobnych mają odpowiednie długości 35cm i 21 cm. Obwody tych wielokątów różnią się o 40 cm. Oblicz obwód każdego wielokąta.

Answer 1

10.
O₁ - środek pierwszego okręgu
O₂ - środek drugiego okręgu
A, B - punkty przecięcia okręgów
czworokąt O₁AO₂B to deltoid
|O₁A| = |O₁B| = 20
|O₂A| = |O₂B| = 15
|O₁O₂| = 25
AB, O₁O₂ - przekątne deltoidu
P - punkt przecięcia przekątnych deltoidu
|O₁O₂| = |O₁P| + |PO₂| = 25
|O₁P| = 25 - x
|PO₂| = x
∢O₁PA = 90°
|O₁P|² + |PA|² = |O₁A|² i |PO₂|² + |PA|² = |O₂A|²

(25-x)² + |PA|² = 20² i x² + |PA|² = 15²
stąd
(25-x)² + 15² - x² = 20²
625 - 50x + x² + 225 - x² = 400
50x = 450
x = 9

9² + |PA|² = 15²
|PA| = 12 = |PB|
|O₁P| = 16
|PO₂| = 9

11.
obwód trójkąta ABC O₁ = 36 + 63 + 81 = 180
obwód trójkąta A'B'C' O₁' = 40
podobieństwo o skali k = 40/180 → k = ²/₉
długości boków trójkąta A'B'C' są zatem równe ²/₉ * 36 = 8,
²/₉ * 63 = 14, ²/₉ * 81 = 18

12.
skala podobieństwa k = 21/35 → k = ³/₅
O₁ - obwód pierwszego (większego) wielokąta
O₂ - obwód drugiego wielokąta
O₁ - O₂ = 40 i O₂ = ³/₅*O₁
O₁ - ³/₅*O₁ = 40 i O₂ = ³/₅*O₁
0,4*O₁ = 40 i O₂ = ³/₅*O₁
O₁ = 100 i O₂ = 60