Question

1. Dane są wielomiany: W (x) = 4x³ - 2x² - x + 3, Q (x) = 8x - 5,
R (x) = x² + x + 2
Oblicz 3 * W (x) - 2Q (x) * R (x)

2. Zapisz wielomian (2x - 1)³ + (1 - x) (3x - 2)² w postaci uporządkowanej. Oblicz wartość wielomianu dla x = -√5

3. Dane są wielomiany
W (x) = 2x⁵ - 11x³ + x - 3 i P (x) = -x⁸ - 2x⁵ + x² Które zdania są prawdziwe?
I. Stopień wielomianu W (x) * P (x) jest równy 40
II. Stopień wielomianu W (x) - P (x) jest równy 8
III. Wyraz wolny wielomianu W (x) * P (x) jest równy -3
a) tylko I i III b) tylko II c) tylko II i III d) wszystkie

4. Wyznacz a i b tak aby [P (x)]² = Q (x) jeżeli
P (x) = 3x² - 2ax + b oraz Q (x) = 9x⁴ + 3 (b - 2a) x³ + (5b² - 4) x² + 8x + 2a²b.

5. Wiedząc że a + b = 3 i ab = 1, oblicz a³ + b³

Answer 1

1. Najpierw wymnażamy:
3 * W (x) - 2Q (x) * R (x)
3W(x) - 2Q(x)*R(x) = 3 * (4x³ - 2x² - x + 3) - 2(8x - 5) * (x² + x + 2 )
3W(x) - 2Q(x)*R(x) = 12x³ - 6x² - x + 3 - (16x - 5) * (x² + x + 2 )
3W(x) - 2Q(x)*R(x) = 12x³ - 6x² - x + 3 - (16x³ + 16x² + 32x - 5x² - 5x - 10)
3W(x) - 2Q(x)*R(x) = 12x³ - 6x² - x + 3 - (16x³ + 11x² + 27x - 10)

opuszczamy nawias zamieniając znaki:
3W(x) - 2Q(x)*R(x) = 12x³ - 6x² - x + 3 - 16x³ - 11x² - 27x + 10
3W(x) - 2Q(x)*R(x) = -4x³ - 17x² - 28x + 13

2. (2x - 1)³ + (1 - x) (3x - 2)² = (2x - 1)²(2x - 1) + (1 - x) (3x - 2)² =
= (4x² - 4x + 1)(2x - 1)+ (1 - x)(9x² - 12x + 4) =
= (8x³ - 4x² - 8x² + 4x + 2x - 1) + (9x² - 12x+ 4 -9x³ + 12x² + 4x) =
= 8x³ - 12x² + 6x - 1 - 9x³ + 21x² - 8x + 4
= -x³ + 9x² - 2x + 3

3.
W (x) = 2x⁵ - 11x³ + x - 3 i P (x) = -x⁸ - 2x⁵ + x²
I: Stopień iloczynu wielomianu liczymy poprzez dodanie najwyższych wykładników... czyli u nas: 5+8=13... więc 40 to zdecydowanie fałsz.

II: Jako, że odejmowanie/dodawanie nie wpływa na stopień wielomianu (chyba, że nastąpi redukcja wyrazów podobnych) to W(x)-P(x) będzie miało taki stopień jaki ma większy, któryś z wielomianów. U nas P(x) ma większy stopień więc W(x)-P(x) będzie miało stopień 8. Prawda

III: Wyraz wolny iloczynu policzymy poprzez przemnożenie wyrazu wolnego z wielomianu W(x) i wyrazu wolnego z P(x)... czyli u nas: -3*0=0 - nie będzie wyrazu wolnego (lub jest on równy 0 - jak teściowa uważa). Fałsz

tak więc tylko II jest prawdziwa (odpowiedź b)

4.
[P (x)]² = Q (x)

P (x) = 3x² - 2ax + b Q (x) = 9x⁴ + 3 (b - 2a) x³ + (5b² - 4) x² + 8x + 2a²b.

najpierw policzmy [P(x)]²:
[P(x)]² = (3x² - 2ax + b)² = (3x² - 2ax + b)(3x² - 2ax + b) = 9x⁴ - 6ax³ + 3bx² - 6ax³ + 4a²x² - 2abx + 3bx² - 2abx + b² = 9x⁴ - 12ax³ + 4a²x² + 6bx² - 4abx + b²

wyłączmy przed nawias "x" tak jak jest w Q(x):
[P(x)]² = 9x⁴ - 12ax³ + 4a²x² + 6bx² - 4abx + b²
[P(x)]² = 9x⁴ + (-12a)x³ + (4a²+6b)x² - (4ab)x + b²


przyrównujemy teraz odpowiednie współczynniki:
9x⁴ = 9x⁴
3 (b - 2a) = (-12a)
(5b² - 4) = (4a²+6b)
8 = (4ab)
2a²b = b²


z przedostatniej równości mamy:
8 = 4ab |:4
ab=2

z tego już wiemy, że a≠0 i b≠0, dalej:
2a²b = b²
2ab*a= b²

z wiedzy, że ab=2 mamy:
2*2*a = b²
4a=b²

więc:
ab=2
4a=b²

a=2/b

4a=b²
8/b = b² |*b
8 = b³ |∛
b = 2

tak więc skoro b=2 zaś a=2/b to a=1

5. Wiedząc że a + b = 3 i ab = 1, oblicz a³ + b³
wzór na a³ + b³ :
a³ + b³ = (a+b)(a²+ab+b²)
a³ + b³ = 3(a²+1+b²)

musimy już tylko obliczyć: 3(a²+1+b²)
zauważmy, że:
(a+b)(a+b) -2ab = a²+ab+ab+b² - 2ab = a²+b², więc:
a²+b² = (a+b)(a+b) -2ab

a³ + b³ = 3(a²+1+b²)
a³ + b³ = 3a²+3+3b² = 3a²+3b²+3 = 3(a²+b²)+3
a³ + b³ = 3[(a+b)(a+b) -2ab] + 3
a³ + b³ = 3[3*3-2*1] + 3
a³ + b³ = 3*7+3 = 24

Answer 2

Załącznik;)