Question

1. Wykaż że jeżeli pierwiastkami wielomianu W (x) = x³ + a2x² (2 indeks dolny) + a1x (1 indeks dolny) + a0 (0 indeks dolny) są liczby a,b,c to a * b * c = -a0 (0 indeks dolny)

Answer 1

A0 będę zaznaczał jako a.
Skoro a,b,c są pierwiastkami to wielomian W(x) można zapisać jako:
W(x)=(x-a)(x-b)(x-c)
wiemy, że:
W(x)=x³ + a₂x² + a₁x +a

więc:
x³ + a₂x² + a₁x +a = (x-a)(x-b)(x-c)
x³ + a₂x² + a₁x +a = (x²-bx-ax+ab)(x-c)
x³ + a₂x² + a₁x +a = x³-cx²-bx²+bcx-ax²+acx+abx-abc

po wyłączeniu x'ów mamy:
x³ + a₂x² + a₁x +a = x³+(a-b-c)x²+(bc+ac+ab)x-abc

z porównania mamy, że:
x³=x³
a₂x²=(a-b-c)x²
a₁x=(bc+ac+ab)x

oraz najważniejsze:
a=-abc |*(-1)
abc=-a

co należało dowieść.