Question

Znajdź współrzędne punktu Q będącego obrazem punktu P(-1, -4) w symetrii osiowej względem prostej k: 5x+4y-20=0.

Proszę o chociaż krótkie wyjaśnienie, bo kompletnie nie mam pojęcia jak rozwiązywać takie zadania.

Answer 1

P = (-1; -4)

k : 5x + 4y - 20 = 0

-----------------------

Mamy

4y =-5x + 20 / :  4

y = ( -5/4) x + 5  < -- postac kierunkowa prostej k

Szukam prostą prostopadłą do prostej k

a*a1 = -1

(-5/4) *a1 = -1 ---> a1 = 4/5

zatem  y = (4/5)x + b

Podstawiam -1 za x  oraz  -4  za y

-4 = (4/5)*(-1) + b

-4 =- 4/5 + b

b = -4 + 4/5 = - 20/5 + 4/5 = -16/5

zatem  m :   y = (4/5) x - 16/5  <- prosta prostopadła do prostej k

i przechodząca przez punkt P = (-1; -4)

Szukam punktu przecięcia się tych prostych

y = (-5/4)x + 5

y = (4/5)x -16/5

--------------------

(-5/4)x + 5 = (4/5)x - 16/5      /  * 20

-25x + 100 = 16x - 64

25x + 16x = 100 + 64

41x = 164 / : 41

x = 4

------

y = (4/5)*4 - 16/5 = 16/5 - 16/5 = 0

--------------------------------------------

S = ( 4; 0) - punkt współny prostych k  oraz m

Musi być

PS = SQ  czyli  S = ( 4; 0) jest  środkiem odcinka PQ

Niech Q = ( a; b)  oraz  P = ( -1; -4)

zatem mamy

[a +(-1)]/2 = 4  oraz   (b =(-4)]/2 = 0

a -1 = 8  oraz  b - 4 = 0

a = 9   oraz   b  = 4

Odp. Q = (9; 4)

=======================