Question

Napisz równanie okręgu, którego środek znajduje się na prostej k, przechodzącego przez punkty A i B, jeśli:

a) k: y=-2x-2A(5,10), B(3,12)

b) k: y=x-5A(7,4), B(-5,-12)

Answer 1

a)

k :   y = -2x -2      oraz  A = (5; 10),  B = (3 ; 12)

Niech S = (x;y) leży na prostej k

Ponieważ S jest środkiem okręgu przechodzącego przez punkty A oraz B

zatem  I SA I = I SB I = r

czyli  I SA I^2 = I SB I^2

Mamy

I SA I^2 = (5 -x)^2 + (10 - y)^2

oraz  I SB I^2 = (3 -x)^2 + (12 - y)^2

Porównujemy stronami oraz  wstawiamy -2x - 2  za y

25 -10x +x^2 +(10 +2x +2)^2 = 9 -6x + x^2 + (12 +2x + 2)^2

25 -10x +x^2 + (2x + 12)^2 = 9 - 6x +x^2 + (2x  + 14)^2

25 - 10x +x^2 + 4x^2 + 48x + 144 = 9 - 6x =x^2 + 4x^2 + 56x + 196

38x + 169 = 50 x + 205

12x = - 36 / : 12

x = -3

=======

Terza wstawiamy (-3) za x

(5 -(-3))^2 + (10 - y)^2 =  (3 -(-3))^2 + (12  -y)^2

64 + 100 - 20y + y^2     =  36 + 144 - 24y + y^2

164 - 20y = 180 - 24y

4y = 16 / : 4

y = 4

======

S = ( -3 ; 4 )

Teraz obliczymy r^2

r^2 = I SA I ^2 = (5 - (-3))^2 + ( 10 - 4)^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100

r = 10

Równanie okręgu:

( x +3)^2 + ( y - 4)^2 = 100

=============================================================

=====================