Question

Dane są dwa wierzchołki trójkąta równobocznego ABC: A(1,2), B(5,2).

a) Oblicz współrzędne wierzchołka C.

b) Wyznacz równanie okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Answer 1

z.1

A = (1;2), B = (5; 2)

i ABI^2 = (5 -1)^2 + (2 -2)^2 = 4^2 + 0 = 16

zatem I AB I = 4

Szukamy punktow  C jednakowo oddalonych od punktu A i punktu B o 4 jednostki.

Niech C = (x ; y)

zatem IACI^2 = (x - 1)^2 + (y -2)^2

oraz I BC I^2 = (x - 5)^2 = (y -2)^2

ponieważ IAC I = I BC I  zatem IACI^2 = I BC I^2

czyli (x -1)^2 + (y -2)^2 = (x-5)^2 + (y -2)^2

x^2 -2x + 1 = x^2 - 10x + 25

8x = 24 / : 8

x = 3

=====

Wstawiamy  liczbe 3 za x

mamy

(3 -1)^2 + (y -2)^2 = IACI ^2 = 16

4 + y^2 -4y  + 4 = 16

y^2 - 4y - 8 = 0

delta = 16 -4*1*(-8) = 16 + 32 = 48 = 16*3

p(delty) = 4 p(3)

y1 = [ 4 - 4 p(3)]/2 = 2 -2 p(3)

y2 = [ 4 + 4 p(3)]/2 = 2 + 2 p(3)

Mamy zatem dwa punkty:

C1 = (3; 2 + 2 p(3))   i  C2 = ( 3 ; 2 - 2 p(3))

=========================================

i dwa trójkaty równoboczne

ABC1 oraz ABC2

===============

z.2

Niech S będzie środkiem odcinka AB zatem

S = ((1+5)/2; (2+2)/2) = (3 ; 2)

Na prostej x = 3  leżą środki okregów wpisanych w te trójkąty równoboczne.

Obliczmy wysokość tych trójkątów.

a = 4

zatem h = [a p(3)]/2 = [4 p(3)]/2 = 2 p(3)

r = h/3 = (2/3)*p(3)

r^2 = (4/9)*3 = 4/3

==================

Wyznaczymy współrzędne środków tych okręgów:

x = 3 , bo leżą na prostej x = 3

oraz  y1 = 2 + h/3 = 2 + (2/3)*p(3)

y2 = 2 - h/3 = 2 - (2/3)*p(3)

czyli

S1 = ( 3; 2 + (2/3)*p(3))

S2 = (3; 2 - (2/3)*p(3))

wstawiamy do wzoru - równania okręgu

(x - c)^2 +  (y - d)^2 = r^2

dane  - współrzędne S1 i S2  oraz   r^2

Mamy

( x - 3)^2 + ( y - 2 -(2/3)*p(3))^2  = 4/3   <--- okrąg wpisany w ABC1

(x - 3)^2 + (y - 2+ (2/3)*p(3))^2 =  4/3   <--- okrąg wpisany w ABC2

=============================================================