Question

Zbadaj liczbę rozwiązań równania x²+k√x=k w zależności od
wartości parametru k.

Zadanie jest prawie rozwiązane, tylko nie wiem w jaki sposób obliczyć ilość rozwiązań dla Δ=0.

x²+k√x=k
√x=t
t²+kt-k=0

Δ=k²+4k
k=0 i k=-4

√x≥0 czyli x₁x₂≥0 i x₁+x₂≥0

W obu przypadkach wychodzi k≤0

Dla Δ>0 mamy 2 rozwiązania dla k∈(-∞,-4)
Dla Δ<0 mamy 0 rozwiązań dla k∈(-4,0)

A dla Δ=0 powinno wyjść <0,∞)U{-4}
0 i -4 wiem że należą, ale skąd bierze się zakres od 0 do ∞ ?
A może coś źle robię?

Answer 1

Machnąłeś się na początku... bo skoro t=√x to t²≠x² tylko t²=x, a t⁴=x²
a więc lepiej tak nie robić, ale twoje równanie było by takie:
t⁴+kt-k=0

Zrobię od początku:

x²+k√x=k
x²+k√x-k=0

wiemy, że funkcja kwadratowa jest postaci:
ax²+bx+c=0
lub nawet:
ax²+bx¹+cx⁰

my natomiast mamy:
ax²+bx^(½)+cx⁰

nie jest to funkcja kwadratowa!
Co więcej jest to funkcja raczej z matematyki wyższej, a niżeli licealnej a jej jedynymi rozwiązaniami są liczby zespolone:
x₁=-(i√c)/√a
x₂=(i√c/)√a

lub jeśli funkcja jest postaci (jak u nas)
ax²+bx^(½)-cx⁰:
x₁=√c / √a
x₂=- √c / √a

więc jeżeli w zadaniu nie ma pomyłki, a masz określić liczbę rozwiązań w zależności od parametru k, to odpowiadamy dość prosto:
x²+k√x=k

x²≥0
√x≥0 --> x≥0

gdy x=0 mamy
0=k, ale wtedy jest źle dla pozostałych "x", np. dla x=1:
1+k=k
1=0

więc x≠0

z tego wiemy, że x>0, czyli x jest zawsze dodatni:
dodatnia²+k*(pierwiastek z dodatniej)=k

znajdź taką liczbę dodatnią by dla dowolnego k było to prawdziwe... otóż jest to prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy k>0, ale wtedy x jest z jakiegoś zakresu (już nie pamiętam jakiego)...
mówiąc po polskiemu, ktoś tu zrobił byka. Odpowiedź jest:
jedno rozwiązanie gdy k≥0
zero rozwiązań gdy k<0

na dowód... ściągnij sobie program wykresik z tej strony:
http://manager.money.pl/hitech/programy/wykresik;1;5;pl,1553,pobierz.html

i wpisz jako formułę (dla k=2)
x^2+2*sqrt(x)-2
znasz taką funkcję?

lub dla k=-2:
x^2-2*sqrt(x)+2

ta druga PRZYPOMINA parabolę, ale nie ma punktów przecięcia.