Question

Zbadaj liczbę rozwiązań równania x+k√x=k w zależności od
wartości parametru k.

Zadanie jest prawie rozwiązane, tylko nie wiem w jaki sposób obliczyć ilość rozwiązań dla Δ=0.

x+k√x=k
√x=t
t²+kt-k=0

Δ=k²+4k
k=0 i k=-4

√x≥0 czyli x₁x₂≥0 i x₁+x₂≥0

W obu przypadkach wychodzi k≤0

Dla Δ>0 mamy 2 rozwiązania dla k∈(-∞,-4)
Dla Δ<0 mamy 0 rozwiązań dla k∈(-4,0)

A dla Δ=0 powinno wyjść <0,∞)U{-4}
0 i -4 wiem że należą, ale skąd bierze się zakres od 0 do ∞ ?
A może coś źle robię?

Answer 1

Zrobię całość to zobaczymy czy gdzieś masz pomyłkę:
x+k√x=k, √x≥0

Niech √x=t, mamy:

t²+kt-k=0
a=1, b=k, c=-k
Δ=b²-4ac
Δ=k²-4*1*(-k)
Δ=k²+4k=k(k+4)

dla:
Δ>0 mamy dwa rozwiązania
Δ=0 mamy jedno rozwiązanie
Δ<0 mamy zero rozwiązań

Δ>0:
k(k+4)>0

rysujemy oś, zaznaczamy 0 oraz -4 i dajemy parabolę z ramionami do góry:
http://i47.tinypic.com/5wf11t.jpg

czyli k∈(-∞,-4)U(0,∞)

Δ<0:
k(k+4)<0
rysunek pozostaje i mamy
k∈(-4,0)

to już implikuje fakt, że dla Δ=0 jedyne co nam zostaje to {-4} i {0}:

Δ=0:
k(k+4)=0
k=0 v k=-4

teoretycznie by tak było... ale dodajmy nasze początkowe założenie, że t=√x≥0... i sprawdźmy po kolei

1)
Δ>0
t²+kt-k=0
k∈(-∞,-4)U(0,∞)

dla k ujemnego z przedziału k∈(-∞,-4) mamy zawsze dwa pierwiastki gdzie t≥0 - wystarczy sprawdzić dla k=-5 --- cała reszta pierwiastki ma po tej samej stronie osi OT (ze względu na wzory Viete'a)

dla k dodatniego k∈(0,∞) mamy zawsze dwa pierwiastki, ale jedno t jest ujemne, a drugie t jest dodatnie (ponownie wystarczy sprawdzić dla k=1, a cała reszta musi być analogiczna). Ujemne t odrzucamy i wychodzi nam tak na prawdę, że dla k∈(0,∞) mamy jeden pierwiastek!

2)
Δ=0
t²+kt-k=0
k=0 v k=-4

tu sobie możemy podstawić i mamy:
t²+0-0=0 --> t=0 i należy do zbiotu t≥0
t²+-4t+4=0 --> Δ=0 --> t=2 i należy do zbioru t≥0

3)
Δ<0
t²+kt-k=0
k∈(-4,0)

dla k ujemnego z przedziału k∈(-4,0) nie mamy rozwiązań więc nawet się nei zastanawiamy


odp:
brak rozwiązań gdy Δ<0 i k∈(-4,0)
jedno rozwiązanie gdy Δ=0, k=0 v k=-4 oraz gdy Δ>0, k∈(0,∞). Stąd właśnie wynika, że k∈<0,∞)U{-4} (co z warunku t≥0 wcale nie oznacza, że Δ=0)
dwa rozwiązania gdy Δ>0 i k∈(-∞,-4).


Do tego samego mogłeś dojść w swój sposób gdy napisałeś:
"Dla Δ>0 mamy 2 rozwiązania dla k∈(-∞,-4)
Dla Δ<0 mamy 0 rozwiązań dla k∈(-4,0)"

to dla Δ=0 musiała być cała reszta - aczkolwiek wtedy byłby malutki błąd (ja bym przepuścił), że ta cała reszta nie jest dla Δ=0, a dla Δ=0 oraz wywalonej części z Δ>0.