Question

Dla jakich wartości parametru a zbiór rozwiązań nierówności
x² − 3x + 2 < 0 jest zawarty w zbiorze rozwiązań nierówności
ax² − (3a+ 1)x + 3 > 0 ?

Answer 1

Szukamy zbioru rozwiązań nierówności:
x² − 3x + 2 < 0

po wyliczeniu delty i pierwiastków rozłożymy nierówność kwadratową na czynniki i będziemy mieć:
(x-1)(x-2)<0

ramiona paraboli są skierowane do góry i przechodzi ona przez 1 i przez 2... tak więć x∈(1,2)

zastanawiamy się więc jakie "a" należy wybrać, żeby w zbiorze rozwiązań "ax² − (3a+ 1)x + 3 > 0" był zawarty zbiór x∈(1,2)

bez względu na wszystko nasza druga funkcja przechodzi przez punkt (0,3) gdyż c=3... teraz rozłóżmy sobie to zadanie na dwa przypadki:

1⁰ "a" jest ujemne
2⁰ "a" jest dodatnie

gdy a jest ujemne to zbiorem rozwiązań będzie wszystko pomiędzy przecięciami.
Szukamy x₁, x₂ takich by b=-(3a+1) oraz c=3:
x₁+x₂=-b/a
x₁*x₂=c/a

x₁+x₂=(3a+1)/a
x₁*x₂=3/a

a=3/x₁*x₂ --> x₁ i x₂ mają różne znaki

x₁+x₂=(3a+1)/a
a(x₁+x₂)=3a+1
a(x₁+x₂)-3a=1
a(x₁+x₂-3)=1
a=1/(x₁+x₂-3)

mamy trzy niewiadome więc potrzebujemy jeszcze przynajmniej jednego równania... oto one:

Δ=b²-4ac
Δ=(-(3a+ 1))² - 4a*3
Δ=9a²+6a+1-12a
Δ=9a²-6a+1
Δ=(3a-1)²
√Δ=|3a-1|

jako, że "a" jest ujemne to wartość w wartości bezwzględnej też jest ujemna, wiec:
√Δ=-(3a-1)=-3a+1

x₁=(-b-√Δ)/2a
x₁=[(3a+1)-(-3a+1)]/2a
x₁=6a/2a=3

x₂=(-b+√Δ)/2a
x₂=[(3a+1)+(-3a+1)]/2a
x₂=2/2a=1/a

wstawiamy to do któregoś z poprzednich równań:
a=3/x₁*x₂
a=3/(1/a)*3
a=1/(1/a) --> a=a - niezbyt to pomogło, ale wiemy, że chwilowo jest ok

Podobnie się stanie dla podstawienia pod równanie "a=1/(x₁+x₂-3)". Co z tym fantem zrobić? Zastanówmy się:

punkt c(3,0) jest niezależny od a... tak samo stało się z x₁ który jest punktem (0,3) - ten też jest kompletnie niezależny od a (więc występuje zawsze!) skoro x₂=1/a to jest ujemne. Każda! parabola przechodząca przez te dwa punkty (3,0) oraz (0,3) gdzie x₂<0 zawiera w sobie przedział x∈(1,2).

Tak więc z tego punktu wiemy, że a∈(-∞,0)

Teraz zajmijmy się a dodatnim:
2⁰ Tutaj problem robi się pozornie większy bo x₂ boże być mniejsze od x₁, ale też może być większe. "a" jest dodatnie więc ramiona mamy skierowane do góry - przedział od x₁ do x₂ więc nie należy do zbioru wartości.

tak czy siak prawdą absolutną będzie dla nas:
x₁=3
x₂=1/a --> x₂>0
a>0
b=-(3a+1)
c=3
należą punkty (0,3) oraz (3,0)

Zauważmy, że dla x₂ z zakresu od 0 do 2 w zbiorze wartości nie zawiera się cały przedział (1,2) - jak to pokazać? Jeśli x₂<x₁ to w zbiór wartości nie wchodzi przedział (x₂,3), a z tego jasno wynika, że x₂>2.

dla x₁ dodatnich z poza przedziału (0,2) wszystko jest ok gdyż albo będzie nie wchodził nam przedział
(x₂,3) gdzie x₁>2

albo nie będzie wchodził przedział
(3,x₂), a to już nas kompletnie nie obchodzi.

więc odpowiedzią jest (dla "a" dodatniego), że x₂>2, a z tego wynika:
x₂=1/a
a=1/x₂
a<½


zróbmy jakieś sprawdzenie co do tego by mieć pewność... załóżmy, że a=⅓, wtedy:

⅓x² - (3*⅓+ 1)x + 3 > 0
⅓x² - (1+1)x + 3 > 0
⅓x² -2x + 3 > 0

Δ=b²-4ac=4-4*⅓*3=4-4=0
x₀=-b/2a=2/⅔=3

wtedy rozwiązaniami są R - {3} co się całkowicie zgadza z założeniami gdyż przedział (1,2) należy.

Tak więc odpowiedzią jest:
a∈(-∞,0) dla ujemnych a
a∈(0,½) dla dodatnich a

co można zapisać:
a∈(-∞,½) - {0}

Tak się zastanawiam czy masz analizę matematyczną... bo zadania są właściwie pod ten dział studiów (mało liczenia - dużo myślenia) :P