Question

Dla jakich wartości parametru m równanie (2m-3)x²+4mx+m-1=0 ma dwa pierwiastki spełniające nierówność x₁+x₂=-mx₁x₂

Answer 1

Po dokonaniu korekty dotyczącej warunku zamiast x₁+x₂= -mx₁x₂ ma być : x₁+x₂> -mx₁x₂ ponownie przesyłam rozwiazanie zadania!!!
----------------------------------------------------------------------------------
Dla jakich wartości parametru m równanie (2m-3)x²+4mx+m-1=0 ma dwa pierwiastki spełniające nierówność x₁+x₂> -mx₁x₂

(2m-3)x²+4mx+m-1=0
Aby istniały 2 pierwiastki równania, to :
1) Δ > 0
2) (2m-3) ≠0
3)x₁+x₂> - mx₁x₂

Wszystkie 3 warunki musza być spełnione
Korzystam ze wzorów Viete`a do 3) warunku
x1+x2 = - b/a
x1*x2 = c/a

Rozpatruję 1) warunek
Δ > 0
a = (2m-3)
b = 4m
c = m-1

Δ = b²-4*a*c
Δ = (4m)² - 4*(2m-3)*(m-1) > 0
16m² - 4(2m² -5m +3) > 0
16m² - 8m² +20m -12 > 0
8m² +20m -12 > 0 /:4
2m² + 5m -3 > 0
Δ= 5²- 4*2*(-3) = 25 + 24 = 49
√Δ = √49 = 7
m1= (-5-7):(2*2) = (-12): 4 = -3
m2 = (-5 +7) : (2*2) = 2 : 4 = 1/2
Rozwiazanie 1) warunku
dla Δ > 0 m ∈( -∞, -3) ∨(1/2, +∞)
2) Rozwiazuje 2 warunek
(2m-3) ≠0
2m ≠ 3
m ≠ 3/2
m ≠ 1,5

3) Rozwiazuje 3) warunek stosując wzory Viete`a :
x1+x2 = - b/a
x1*x2 = c/a

x₁+x₂> - mx₁x₂
-b/a > -m( c/a)
(- 4m)/(2m-3) > -m(m-1)/ (2m-3)
(- 4m)/(2m-3) + m(m-1)/ (2m-3) > 0
(- 4m) + m²-m ) : (2m-3) > 0
(- 4m + m² -m )*(2m-3) > 0
Zamiast dzielenia sosuję mnożenie
(m² - 5m)*(2m-3) > 0
m( m-5) ( 2m -3) > 0
m = 0 lub m-5 = 0 lub 2m-3 = 0
m = 0 lub m = 5 lub m = 3/2

teraz po zaznaczeniu pirewiastków na osi ox zaznaczam przedziały dla których nierówność jest > 0
m ∈ (0, 3/2)∨(5 +∞)
Rozwiązaniem 3) warunku jest m ∈ (0, 3/2)∨(5 +∞)

Teraz wyznaczam wspólną część wszystkich 3 warunków:
1) m ∈( -∞, -3) ∨(1/2, +∞)
2) m ≠ 1,5
3) m ∈ (0, 3/2)∨(5 +∞)

Po narysowaniu na osi Ox wszystkich 3 warunków ostatecznym rozwiązaniem jest m ∈ (1/2; 3/2) ∨ (5, +∞)

Odp. Dla m m ∈ (1/2; 3/2) ∨ (5, +∞), równanie (2m-3)x²+4mx+m-1=0 ma dwa pierwiastki spełniające nierówność x₁+x₂> - mx₁x₂