Question

Zadanie1
Wykaż,że każdy trójkąt można podzielić na trójkąty równoramienne.

zadanie2
suma długości boku a trójkąta i wysokości h poprowadzonej na ten bok jest równa 18cm.Podaj długość jaką powinien mieć bok a aby pole P trójkąta było największe.

zadanie3
Suma długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równa 12.Dla jakich długości tych boków pole trójkąta jest większe od 10?

Answer 1

Z.2
a - długość boku Δ , h - wysokość tego Δ na ten bok.
a + h = 18 ---> h = 18 - a
P = 0,5*a*h = 0,5*a*(18- a) = -0,5a² + 9a
a1 = 0, a2 = 18
-0,5 < 0 dlatego ramiona wykresy funkcji P = -0,5*a² + 9a
są skierowane ku dołowi.Największa wartość funkcja
przyjmuje dla
- 9/[2*(-0,5)] = 9 / 1 = 9
Odp.Bok a powinien mieć długość 9 cm aby pole trójkąta było
największe.
z.3
x, y - długości przyprostokątnych trójkąta
x + y = 12 ----> y = 12 - x
P = 0,5*x*y = 0,5*x*(12 -x) = -0,5 x² +6x
-0,5 x² +6 x > 10
-0,5 x² + 6 x - 10 > 0
Δ = 36 -4*(-0,5)*(-10) = 36 - 20 = 16
√Δ = 4
x1 =[-6 -4]/(-1) = 10
x2 = [-6 + 4]/(-1) = 2
-0,5 < 0 dlatego ramiona wykresu tej funkcji zwrócone są ku
dołowi
P> 10 <=> x ∈ ( 2; 10) ∧ y = 12 - x.
Np. x = 3 , y = 12 -3 = 9
P = 3*9*0,5 = 0,5* 27 = 13,5 > 10

Answer 2

Zad 1.
Dwusieczne kątów każdego trójkąta ostrokątnego przecinają się w jednym punkcie wyznaczając środek okręgu opisanego na trójkącie. Wierzchołki trójkąta leżą na okręgu dlatego odcinki łączące środek okręgu z wierzchołkami trójkąta są równe długości promienia. W konsekwencji trójkąt ostrokątny został podzielony na trzy trójkąty równoramienne o ramieniu długości r.

Trójkąt prostokątny zostaje podzielony na 2 trójkąty równoramienne, ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie leży w połowie przeciwprostokątnej.

Niestety nie bardzo wiem jak udowodnić dla trójkąta rozwartokątnego.
______________________________________

Zad 2.

a- bok trójkąta
h - wysokość
a+h=18
h=18-a

P=0,5ah
P(a) = 0,5a(18-a)
P(a) = -0,5a² +9a

Funkcja osiąga wartość największą dla pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji.

a=-b':2a', gdzie a' i b' to współczynniki funkcji P(a).
a=-9:(-2*0,5)
a=9

Pole trójkąta będzie największe dla podstawy o długości 9.
________________________________________________

Zad 3.
x, y - przyprostokątne
P=0,5xy

x+y=12
y=12-x

P(x)=0,5x(12-x)
P(x)=-0,5x²+6a

P(x) > 10
-0,5x²+6a > 10
-0,5x²+6a-10 > 0
Delta = 36-4*0,5*10=36-20=16
x1=(-6-4):(-1)=10
x2=(-6+4):(-1)=2

P(x)>10 <=> x∈(2; 10)

x=2 => y = 12-2=10
x=10 => y = 12-10=2

y ∈(2; 10)

Można też zapisać
x∈(2; 10) i y=12-x