Question

Zad1
Punkty A=(3,0),B=(9,6) i D=(3,3) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD,w którym bok AB jest równoległy do boku CD.
a)wyznacz współrzędne wierzchołka C
b)oblicz pole P tego trapezu
c)napisz równanie osi symetrii tego trapezu.
zad2
Punkty A=(4,0),B=(0,5)są wierzchołkami czworokąta ABCD.Wyznacz takie współrzędne punktów C i D należących do prostej o równaniu y=-2x aby czworokąt ABCD był trapezem prostokątnym,w którym kąty BCD i ADC są proste.
zad3
zapisz w postaci kanonicznej równanie okręgu,podaj jego promień i współrzędne środka oraz narysuj ten okrąg.
a)x²+y²-10x+24y-56=0
b)x²+4x+y²+14=0
c)x²-2x+y²-6y-3=0
zad4
Sprawdz które z punktów A,B,C takich,że A=(2,3),
B=(-3,2),C=(2,5) leżą na okręgu o równaniu (x+2)²+(y-1)²=20.

Answer 1

Teoria:
T1) Prosta k przechodząca przez dwa różne punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB) ma równanie: (xB - xA)(y - yA) = (yB - yA)(x - xA)

T2) Proste o równaniach y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂ są równoległe, gdy a₁ = a₂ (współczynniki kierunkowe prostych są takie same)

T3) Jeśli A = (xA, yA), B = (xB, yB), to długość odcinka AB wyraża się wzorem |AB| = √(xB - xA)² + (yB - yA)²

T4) Odległość d między dwiema prostymi równoległymi o równaniach y = ax + b₁ i y = ax + b₂ wyraża się wzorem:
d = |b₁ - b₂| / √1 + a²

T5) Jeśli A = (xA, yA), B = (xB, yB) to punkt S = (xs, ys), który jest środkiem odcinka ma współrzędne: xs = xA + xB / 2 i ys = yA + yB / 2

T6) Proste o równaniach y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂ są prostopadłe, gdy a₁ * a₂ = -1 (współczynniki kierunkowe prostych są odwrotnością ze zmienionym znakiem)

T7) Równanie x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 jest równaniem okręgu ( zwane też postacią ogólną ) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi nierówność a² + b² - c > 0. Wówczas środkiem tego okręgu jest punkt S = (a, b), zaś jego promień ma długość: r = √a² + b² - c

T8) Kanoniczne równanie okręgu (x - a)² + (y - b)² = r²
gdzie a, b - współrzędne środka okręgu S = (a, b), r - długość promienia

Zad 1.
A = (3,0), B = (9,6), D = (3,3)
ABCD - trapez równoramienny
AB II CD
a) wyznacz współrzędne wierzchołka C
- równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B (na podstawie T1)
(9 - 3)(y - 0) = (6 - 0)(x - 3)
6y = 6*(x - 3)
6y = 6x - 18 /:6
y = x - 3
- wyznaczamy równanie prostej równoległej do prostej AB i przechodzącej przez punkt D, czyli szukamy równania
y = ax + b II y = x - 3 (na postawie T2 )
a = 1, czyli y = x + b,
teraz wyznaczamy b - wiemy, że prosta przechodzi przez punkt D, czyli jego współrzędne spełniają to równanie
3 = 3 + b
b = 3 - 3 = 0
szukana prosta ma równanie
y = x
- obliczamy długość boku AD, która jest równa długości boku BC, ponieważ jest to trapez równoramienny |AD| = |BC|
(na podstawie T3)
|AD| = √(3 - 3)² + (3 - 0)² √0² + 3² = √9 = 3
|AD| = |BC| = 3
- wyznaczamy współrzędne punktu C = (xC, yC) - wiemy, że punkt należy do prostej y = x i |BC| = 3, stąd
[to C przy x i y powinno być na dole, ale tego tu nie da się zapisać:(]
{ yC = xC
{ |BC| = √(xC - xB)² + (yC - yB)²
Rozwiążemy drugie równanie podstawiając znane dane
3 = √(xC - 9)² + (xC - 6)² /²
3² = (xC - 9)² + (xC - 6)²
x²C - 18xC + 81 + x²C - 12xC + 36 - 9 = 0
2x²C - 30xC + 108 = 0 /:2
x²C - 15xC + 54 = 0
Δ = 225 - 216 = 9
√Δ = √9 = 3
xC₁ = 15 - 3 / 2 = 12 / 2 = 6
xC₂ = 15 + 3 / 2 = 18 / 2 = 9
stąd
{ xC₁ = 6
{ yC₁ = 6
lub
{ xC₂ = 9
{ yC₂ = 9
czyli C = (6, 6) lub C = (9, 9)
Jeśli C = (6, 6) to otrzymamy trapez równoramienny, a jeśli C = (9, 9) otrzymamy równoległobok.

Jednak autorzy tego zadania uważają, że równoległobok nie jest trapezem, o czym świadczy podpunkt c tego zadania, w którym należy wyznaczyć oś symetrii, a jak wiemy równoległobok nie ma osi symetrii. Podobnie uważają też np. Bronsztejn I.N., Siemiendiajew K.A.: "Matematyka. Poradnik encyklopedyczny" PWN str. 212 - definiując trapez jako czworokąt posiadający tylko jedną parę boków równoległych, dlatego przyjmujemy, że C = (6, 6)

b) Oblicz pole P tego trapezu
P = ½*(|AB| + |DC|)*h
h - wysokość trapezu
- obliczamy długość AB (na podstawie T3)
|AB| = √(xB - xA)² + (yB - yA)²
|AB| = √(9 - 3)² + (6 - 0)² = √6² + 6² = √36 + 36 = √2*36 = 6√2
- obliczamy długość CD ( na podstawie T3)
|CD| = √(xD - xC)² + (yD - yC)²
|CD| = √(3 - 6)² + (3 - 6)² = √(-3)² + (-3)² = √9 + 9 = √2*9 = 3 √2
- obliczamy wysokość h
Wysokość tego trapezu jest równa odległości d między prostymi równoległymi AB i CD, czyli między y = x - 3 i y = x
h = d = |b₁ - b₂| / √1 + a² ( na podstawie T4)
h = |- 3 - 0| / √1 + 1² = |- 3| / √2 = 3 / √2 = 3*√2 / √2*√2 = 3√2 / 2
- obliczamy pole trapezu
P = ½*(|AB| + |DC|)*h
P = ½*(6√2 + 3√2) * 3√2 / 2 = ¼ * 9√2 * 3√2 = ⁵⁴/₄ = 13½

c) Napisz równanie osi symetrii tego trapezu
Oś symetrii trapezu równoramiennego jest to symetralna podstaw, czyli prosta, która przechodzi przez środki podstaw.
- wyznaczymy środek podstawy AB ( na podstawie T5)
S₁ = (xs₁, ys₁)
xs₁ = xA + xB / 2
xs₁ = 3 + 9 / 2 = 12 / 2 = 6
ys₁ = yA + yB / 2
ys₁ = 0 + 6 / 2 = 6 / 2 = 3
S₁ = (6, 3)
- wyznaczymy środek podstawy CD ( na podstawie T5)
S₂ = (xs₂, ys₂)
xs₂ = xC + xD / 2
xs₂ = 6 + 3 / 2 = 9 / 2 = 4½
ys₂ = yC + yD / 2
ys₂ = 6 + 3 / 2 = 9 / 2 = 4½
S₂ = (4½, 4½)
- wyznaczamy oś symetrii trapezu czyli prostą przechodzącą przez punkty S₁ i S₂ ( na podstawie T1)
(xS₂ - xS₁)(y - yS₁) = (yS₂ - yS₁)(x - xS₁)
(4½ - 6)(y - 3) = (4½ - 3)(x - 6)
- 1½(y - 3) = 1½(x - 6)
- 1½y + 4½ = 1½x - 9
- 1½y = 1½x - 9 - 4½
- 1½y = 1½x - 13½ /:(-1½)
y = - x + 9

Zad. 2
A = (4,0), B = (0,5) - wierzchołki trapezu prostokątnego ABCD
C, D - punkty takie, że C i D ∈ y = -2x
kąty BCD i ADC to kąty proste
Z danych wynika, że AD II BC
Aby wyznaczyć współrzędne punktów C i D należy wyznaczyć proste prostopadłe do prostej y = - 2x i przechodzące przez punkty A i B, wtedy kąty BCD i ADC będą proste
- wyznaczamy prostą prostopadłą do prostej y = - 2x i przechodzącą przez punkt A
A ∈ y = ax + b i y = ax + b _|_ y = - 2x
a₁ * a₂ = -1 ( na podstawie T6)
a * (- 2) = - 1 /:(-2)
a = ½
y = ½x + b
0 = ½*4 + b
b = - 2
y = ½x - 2
- wyznaczamy współrzędne punktu D = (x, y), który jednocześnie należy do prostej y = - 2x i y = ½x - 2
{ y = - 2x
{ y = ½x - 2
stąd
- 2x = ½x - 2
- 2x - ½x = - 2
- 2½x = - 2
- ⁵/₂* x = - 2 /:(- ⁵/₂)
x = - 2 * ( - ²/₅) = ⁴/₅
y = - 2x
y = - 2 * ⁴/₅ = - ⁸/₅ = - 1⅗
( x = ⁴/₅
( y = - 1⅗
Punkt D ma współrzędne D = (⁴/₅, 1⅗)

- wyznaczamy prostą prostopadłą do prostej y = - 2x i przechodzącą przez punkt B
B ∈ y = ax + b i y = ax + b _|_ y = - 2x
a₁ * a₂ = -1 ( na podstawie T6)
a * (- 2) = - 1 /:(-2)
a = ½
y = ½x + b
5 = ½*0 + b
b = 5
y = ½x + 5
- wyznaczamy współrzędne punktu C = (x, y), który jednocześnie należy do prostej y = - 2x i y = ½x + 5
{ y = - 2x
{ y = ½x + 5
stąd
- 2x = ½x + 5
- 2x - ½x = 5
- 2½x = 5
- ⁵/₂* x = 5 /:(- ⁵/₂)
x = 5 * (- ²/₅) = - 2
y = - 2x
y = - 2 * (- 2) = 4

( x = - 2
( y = 4
Punkt C ma współrzędne C = (- 2, 4)

Zad 3.
Równania są zapisane w postaci ogólnej ( na podstawie T7)
x² + y² - 2ax - 2by + c = 0
a² + b² - c > 0
S = (a, b) - środek okręgu
r = √a² + b² - c - to długość promienia

a) x² + y² - 10x + 24y - 56 = 0 (na podstawie T7)
- 2a = -10 /:(- 2)
a = 5
-2b = 24 /:(- 2)
b = - 12
c = - 56
Spr. a² + b² - c > 0
5² + (-12)² + 54 = 25 + 144 + 56 = 225 > 0 ( czyli jest to równanie okręgu)
S = (5, - 12)
r = √a² + b² - c = r = √225 = 15
Postać kanoniczna równania okręgu:
(x - a)² + (y - b)² = r² ( na podstawie T8)
(x - 5)² + (y + 12)² = 225
Narysuj ten okrąg: w układzie współrzędnych zaznaczamy środek okręgu, czyli punkt S o współrzędnych S = (5, - 12) i rysujemy okrąg o promieniu r = 15

b) x² + 4x + y² + 14 = 0 (na podstawie T7)
- 2a = 4 /:(- 2)
a = - 2
-2b = 0 /:(- 2)
b = 0
c = 14
Spr. a² + b² - c > 0
(-2)² + 0² - 14 = 4 - 14 = - 10 < 0 ( czyli to nie jest równanie okręgu)

c) x² - 2x + y² - 6y - 3 = 0 (na podstawie T7)
- 2a = - 2 /:(- 2)
a = 1
-2b = - 6 /:(- 2)
b = 3
c = - 3
Spr. a² + b² - c > 0
1² + 3² + 3 = 1 + 9 + 3 = 13 > 0 ( czyli jest to równanie okręgu)
S = (1, 3)
r = √a² + b² - c = r = √13
Postać kanoniczna równania okręgu:
(x - a)² + (y - b)² = r² ( na podstawie T8)
(x - 1)² + (y - 3)² = 13
Narysuj ten okrąg: w układzie współrzędnych zaznaczamy środek okręgu, czyli punkt S o współrzędnych S = (5, - 12) i rysujemy okrąg o promieniu r = √13
Wskazówka odcinek o długości można wyznaczyć w układzie współrzędnych trójkąt prostokątny o wierzchołkach: A = (0, 0), B = (3, 0), C = (0, 2) wtedy odcinek BC ma długość √13

Zad 4.
Czy A = (2, 3), B = (-3, 2), C = (2, 5) leżą na okręgu o równaniu (x + 2)² + (y - 1)² = 20

A = (2, 3)
(2 + 2)² + (3 - 1)² = 20
L = (2 + 2)² + (3 - 1)² = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
P = 20
L = P
A ∈ (x + 2)² + (y - 1)² = 20

B = (-3, 2)
(-3 + 2)² + (2 - 1)² = 20
L = (-3 + 2)² + (2 - 1)² = (- 1)² + 1² = 1 + 1 = 2
P = 20
L ≠ P
B ∉ (x + 2)² + (y - 1)² = 20

C = (2, 5)
(2 + 2)² + (5 - 1)² = 20
L = (2 + 2)² + (5 - 1)² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32
P = 20
L ≠ P
C ∉ (x + 2)² + (y - 1)² = 20