Question

Zad1
wyznacz punkty wspólne okręgu o równaniu x²+6x+y²=16 z osiami układu współrzędnych.

zad2
Oblicz współrzędne punktów przecięcia się okręgu i prostej o równaniach:
a)x²+y²=9 i y=3
b)x²+y₂=4 i y=x
c)x²+y²=5 i 2x-y=0
d)x²+y²=1 i y=x-1

Answer 1

Zad 1
Wyznacz punkty wspólne okręgu o równaniu x²+6x+y²=16 z osiami układu współrzędnych.

- z osią Ox, wtedy druga współrzędna punktu jest równa zero, stąd

{ x² + 6x + y² = 16
{ y = 0

x² + 6x + 0² = 16
x² + 6x - 16 = 0
Δ = 36 + 64 = 100
√Δ = √100 = 10
x₁ = - 6 - 10 / 2 = - 16 / 2 = - 8
x₂ = - 6 + 10 / 2 = 4 / 2 = 2

{ x = - 8
{ y = 0
i
{ x = 2
{ y = 0

Punkty wspólne okręgu z osią Ox mają współrzędne: (- 8, 0) i (2, 0).

- z osią Oy, wtedy pierwsza współrzędna punktu jest równa zero, stąd

{ x² + 6x + y² = 16
{ x = 0

0² + 6*0 + y² = 16
y² = 16
y = √16 lub y = - √16
y = 4 lub y = - 4
y₁ = 4 i y₂ = - 4

{ x = 0
{ y = 4
i
{ x = 0
{ y = - 4

Punkty wspólne okręgu z osią Oy mają współrzędne: (0, - 4) i (0, 4).

Zad 2.
Oblicz współrzędne punktów przecięcia się okręgu i prostej o równaniach:
a) x² + y² = 9 i y = 3
{ x² + y² = 9
{ y = 3

x² + 3² = 9
x² + 9 = 9
x² = 9 - 9
x² = 0
x = 0

{ x = 0
{ y = 3

Punkt przecięcia się okręgu i prostej ma współrzędne (0, 3)

b) x² + y² = 4 i y = x
{ x² + y² = 4
{ y = x

x² + x² = 4
2x² = 4 /:2
x² = 2
x = √2 lub x = - √2
x₁ = √2 i x₂ = - √2

{ x = √2
{ y = √2
i
{ x = - √2
{ y = - √2

Punkty przecięcia się okręgu i prostej mają współrzędne (√2, √2) i (- √2, - √2).

c) x² + y² = 5 i 2x - y = 0
{ x² + y² = 5
{ 2x - y = 0

{ x² + y² = 5
{ - y = 0 - 2x /*(- 1)

{ x² + y² = 5
{ y = 2x

x² + (2x)² = 5
x² + 4x² = 5
5x² = 5 /: 5
x² = 1
x = √1 lub x = - √1
x = 1 lub x = - 1
x₁ = 1 i x₂ = - 1

{ x = 1
{ y = 2*1 = 2
i
{ x = - 1
{ y = 2 * (- 1) = -2

Punkty przecięcia się okręgu i prostej mają współrzędne (1, 2) i (- 1, - 2).

d) x² + y² = 1 i y = x - 1
{ x² + y² = 1
{ y = x - 1

x² + (x - 1)² = 1
x² + x² - 2x + 1 - 1 = 0
2x² - 2x = 0
2x(x - 1) = 0
2x = 0 /: 2 lub x - 1 = 0
x = 0 lub x = 1
x₁ = 0 i x₂ = 1

{ x = 0
{ y = 0 - 1 = - 1
i
{ x = 1
{ y = 1 - 1 = 0

Punkty przecięcia się okręgu i prostej mają współrzędne (0, - 1) i (1, 0).