Question

Zadanie1
do wykresu funkcji f należą punkty A(1,-1) i B(3,3).Wykres funkcji liniowej g przechodzi przez punkt C(0,2) i tworzy z osią OX kąt ostry,którego cosinus jest równy √2/2.
a)wyznacz wzory funkcji f i g
b)sprawdz czy wykresy funkcji f i g mają wspólny punkt,Jeśli tak podaj jego współrzędne.

zadanie2
turysta wyjechał na motocyklu z miasta A do miasta B z prędkością 60km/h.Po 45 minutach zmniejszył prędkość o 10km/h i do celu przyjechał pół godziny pózniej,niż gdyby jechał ze stałą początkową prędkością.Oblicz odległość między miastami A i B.

Answer 1

Zad. 1
Do wykresu funkcji f należą punkty A(1,-1) i B(3,3).Wykres funkcji liniowej g przechodzi przez punkt C(0,2) i tworzy z osią OX kąt ostry,którego cosinus jest równy √2/2.

a) wyznacz wzory funkcji f i g
Wyznaczymy wzór funkcji f
Punkty A(1,-1) i B(3,3) należą do wykresu funkcji f, czyli ich współrzędne spełniają równanie prostej y = ax + b, stąd
( - 1 = a + b
( 3 = 3a + b

( a + b = - 1 /*(- 1)
( 3a + b = 3

( - a - b = 1
( 3a + b = 3
___________
2a = 4 /: 2
a = 2

a + b = - 1
2 + b = - 1
b = - 1 - 2
b = - 3

( a = 2
( b = - 3

y = 2x - 3 jest równanie prostej będącej wykresem funkcji f(x) = 2x - 3

Wyznaczymy wzór funkcji g
Wykres funkcji liniowej g tworzy z osią OX kąt ostry,którego cosinus jest równy √2/2
α - kąt ostry jaki tworzy prosta z osią Ox, czyli
cosα = √2/2
α = 45°
Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej to tangens kąta nachylenia prostej będącej wykresem tej funkcji do osi OX: a = tg α, stąd
a = tg 45°
a = 1
Współczynnik b (wyraz wolny) funkcji liniowej jest rzędną punktu przecięcia prostej będącej wykresem tej funkcji z osią OY, stąd oraz z treści zadania: wykres funkcji liniowej g przechodzi przez punkt C(0,2) otrzymujemy
b = 2
y = x + 2 jest to równanie prostej będącej wykresem funkcji g(x) = x + 2

b) Sprawdź czy wykresy funkcji f i g mają wspólny punkt. Jeśli tak podaj jego współrzędne.

Jeśli proste mają punkt wspólny to należy jego współrzędne spełniają równania tych prostych:
y = 2x - 3 i y = x + 2
czyli
2x - 3 = x + 2
2x - x = 2 + 3
x = 5

y = 2x - 3
y = 2*5 - 3 = 10 - 3 = 7

y = x + 2
y = 5 + 2 = 7

Punkt wspólny tych prostych ma współrzędne (5, 7)

Zad. 2
Turysta wyjechał na motocyklu z miasta A do miasta B z prędkością 60km/h. Po 45 minutach zmniejszył prędkość o 10km/h i do celu przyjechał pół godziny później,niż gdyby jechał ze stałą początkową prędkością.Oblicz odległość między miastami A i B.
V - prędkość
d - droga
t - czas

Drogę z miasta A do miasta B trzeba podzielić na dwie części.
Niech X oznacza punkt zmiany prędkości, wprowadzamy oznaczenia:
d - droga z miasta A do miasta B
d₁ - droga z miasta A do punktu X
d₂ - droga z punkty X do miasta B
czyli
d = d₁ + d₂

od A do X turysta jechał z prędkością 60 km/h i pokonał tę drogę w czasie 45 min, czyli 0,75 h.
V = d₁ / t
V = 60 km/h
t = 0,75 h
60 = d₁ / 0,75 /*0,75
d₁ = 60 * 0,75 = 45 km

od X do B jechał z prędkością 60 km/h - 10 km/h = 50 km/h
V₂ = 50 km/h

t₁ - czas, gdy prędkość wynosi V₁ = 60 km/h
t₂ - czas, gdy prędkość wynosi V₂ = 50 km/h

do celu przyjechał pół godziny (0,5 h) później, niż gdyby jechał z prędkością V = 60 km/h, stąd
t₂ = t₁ + 0,5

Możemy zatem zapisać:
( V₁ = d₂ / t₁
( V₂ = d₂ / t₂

( 60 = d₂ / t₁ /*t₁
( 50 = d₂ / t₁ + 0,5 /*(t₁ + 0,5)

( d₂ = 60 * t₁
( d₂ = 50 * (t₁ + 0,5)

60t₁ = 50 * (t₁ + 0,5)
60t₁ = 50t₁ + 25
60t₁ - 50t₁ = 25
10t₁ = 25 /: 10
t₁ = 2,5

d₂ = 60 * t₁
d₂ = 60 * 2,5 = 150 km

d = d₁ + d₂
d = 45 + 150 = 195 km

Odp. Odległość między miastami A i B wynosi 195 km.