Question

Zad1
Punkty S₁=(-2,-5) i S₂=(4,3) są odpowiednio środkami dwóch okręgów o₁ i o₂ zewnętrznie stycznych o promieniach r₁ i r₂ spełniających warunek r₁:r₂=2:3.Wyznacz równania okręgów o₁ i o₂
zad2
napisz równanie okręgu o promieniu 5 i stycznego do obu osi układu współrzędnych.
zad3
napisz równanie okręgu stycznego do osi y w punkcie A=(0,4) i przechodzącego przez punkt B=(3,7)

Answer 1

Z.1
r1 + r2 = S1 S2
--->
S1 S2 = [4 -(-2); 3 -(-5)] = [ 6 ; 8]
I S1 S2 I² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
czyli I S1 S2 I = √100 = 10
Zatem mamy
r1 + r2 = 10 oraz r1 / r2 = 2 / 3
mamy więc
r1 = 4 i r2 = 6 , bo 4 + 6 = 10 oraz 4 / 6 = 3 /4
Odp. r1 = 4 ; r2 = 6
Równania okregów:
I. (x +2)² + (y + 5)² = 4² = 16
II. (x - 4)² + (y - 3)² = 6² = 36
z.2
Patrz załącznik.
z.3
A = (0 ; 4) , B = (3 ; 7)
A - punkt styczności okręgu z osią OY ( x = 0 )
Mamy
S = (a ; b) - środek okręgu
(x -a)² + (y - b)² = r²
Punkty A oraz B leżą na tym okręgu zatem
(0-a)² + (4 - b)² = r²
(3 -a)² + (7 - b)² = r²
czyli
a² + 16 - 8b + b² = r²
9 -6a + a² + 49 -14b + b² = r²
Od II równania odejmujemy I i otrzymujemy
-6a - 6b +42 = 0
a + b = 7
Ale ponieważ punkt A jest punktem styczności z osią OY więc
jego rzędna jest równa rzędnej środka okręgu, zatem
b = 4
czyli a + 4 = 7 ----> a = 7 - 4 = 3
S = (3 ; 4)
Obliczam teraz r²
r² = 3² + 16 -8*4 + 4² = 9 + 16 - 32 + 16 = 9
r = 3
Odp. Okrąg ma równanie
( x - 3)² + ( y - 4)² = 9