Zadanie za 375 pkt!!!!!Obliczyć pochodne. Proszę o rozpisanie przykładów i ich wyjaśnienie, napisani.... Question from @Anielka

October 2018 1 46 Report

Zadanie za 375 pkt!!!!!

Obliczyć pochodne. Proszę o rozpisanie przykładów i ich wyjaśnienie, napisanie wzorów z których się korzystało. Napisać czy to jest złożenie, dzielenie, mnożnie, dodawanie itp.

1) $y=\sqrt{x\cdot\ sinx\cdot\sqrt{1-e^x}}$

2) $y=2^{\frac{x}{lnx}}$

3) $y=\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\ e^{x^{2}}-arctgx+\frac{1}{2}ln(x+1)$

4) $y=(tg2x)^{ctg\frac{x}{2}}$

5) $y=\frac{1}{cos(x-cosx)}$

6) $y=e^{x}\cdot sinx$

7) $y=e^{\sqrt{x}}+e^{-\sqrt{x}}$

8) $y=(x\cdot |x|)$

9) $y=\frac{lnx}{x^{6}}+\frac{1}{6x^6}$

10) $y=x^{2}\cdot \sqrt{1+\sqrt{x}}$

11) $y=\frac{(1-cos^{2}x)^{10}}{\sqrt{sinx}}$

12) $y=\frac{6^x-1}{6^x+1}$

13) $y=ln(cos(arctg(\frac{e^x-e^{-x}}{2})))$

platon1984

w każdym niemalże przykładzie będę wykorzystywał wzor na pochodną funkcji złożonej:

$\frac{df[g(x)]}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}$

1)najpierw policzby sobie taką pochodną:

$(x\sinx\sqrt{1-e^x})'=(x\sin x)'\sqrt{1-e^x}+x\sin x(\sqrt{1-e^x})=\\=(\sin x+x\cos x)\sqrt{1-e^x}+x\sinx\frac{-e^x}{2\sqrt{1-e^x}}=\\=\frac{2(\sin x+x\cos x)(1-e^x)-x\sin x e^x}{2\sqrt{1-e^x}}$

zaś:

$y'=\frac{(\sqrt{x\sin x\sqrt{1-e^x}})'}{2\sqrt{x\sin x\sqrt{1-e^x}}}=\frac{2(\sin x+x\cos x)(1-e^x)-x\sin x e^x}{2\sqrt{x\sin x}(1-e^x)}$

mam nadzieję, że się nie pomyliłem

2) pochodna:

$(2^x)'=\log{2} 2^x$

gdzie log oznacza logarytm naturalny a nie dziesiętny (TeX zna tylko taką funkcję)

$y'=\log{2} 2^{\frac{x}{\log x}}\cdot(\frac{x}{\log x})'=\log{2}2^{\frac{x}{\log x}}\cdot \frac{\log x-x/x}{(\log x)^2}=\\=\log{2}2^{\frac{x}{\log x}}\cdot\frac{\log x-1}{(\log x)^2}$

3) $y'=-0.5x^{-1.5}e^{x^2}+x^{-0.5}\cdot2xe^{x^2}-\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2(x+1)}=\\=-\frac{e^{x^2}}{2x^{1.5}}+2\sqrt{x}e^{x^2}-\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2(x+1)}$

gdzie pochodna:

$(\arctan{x})'=\frac{1}{1+x^2}$

4) zapiszmy to w nieco innej postaci:

$y=e^{ctg \frac{x}{2}\log{\tan{2x}}}\\ y'=(\tan{2x})^{ctg\frac{x}{2}}\cdot (\frac{-0.5}{\sin^2x}\log{\tan{2x}}+\frac{2ctg\frac{x}{2}}{\tan{2x}\cos^2{2x}})$

5) $y'=-\frac{1}{\cos^2{(x-\cos x)}}\cdot (-\sin{(x-\cos x)})\cdot (1+\sin x)=\frac{\sin{(x-\cos x)}(1+\sin x)}{\cos{(x-\cos x)}}$

6) $y'=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x)$

jedna przyjemna pochodna się trafiła ;)

7) $y'=e^{\sqrt x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}+e^{-\sqrt{x}}\cdot\frac{-1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}(e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}})=\frac{\sinh{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

8) $y'=|x|+x\ sgn(x)$

gdzie $(|x|)'=sgn(x)$

funkcja signum (funkcja znaku) zwraca -1 dla x<0 oraz 1 dla x>0

9) $y=\frac{6\log{x}+1}{6x^6}\\ y'=\frac{\frac{6}{x}\cdot6x^6-(6\log{x}+1)\cdot36x^5}{36x^{12}}=\frac{-6x^5\log{x}}{x^{12}}=\\=-\frac{6\log{x}}{x^7}$

10) $y'=2x\sqrt{1+\sqrt{x}}+\frac{x^2}{2\sqrt{1+\sqrt{x}}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\\=2x\sqrt{1+\sqrt{x}}+\frac{x^2}{4\sqrt{x+x\sqrt{x}}}$

11) $y=\frac{\sin^{20}{x}}{\sqrt{\sin x}}=\sin^{19.5}{x}\\ y'=19.5\sin^{18.5}{x}\cdot\cos x$

12) $y'=\frac{6^x\log{6}(6^x+1)-(6^x-1)6^x\log{6}}{(6^x+1)^2}=\frac{\log{6}(6^{2x}+6^x-6^{2x}+6^x)}{(6^x+1)^2}=\\=\frac{2\log{6} 6^{2x}}{(6^x+1)^2}$

13) $y'=\frac{1}{\cos{\arctan{\frac{e^x-e^{-x}}{2}} }}\cdot (-\sin{\arctan{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}})\cdot \frac{1}{1+0.25(e^x-e^{-x})^2}\cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}$

ze względów oczywistych nie będę tego wymnażał, można jedynie zastosować podstawienie funkcją specjlaną:

$\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh{x}\\ \frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh{x}$

$y'=-\frac{\sin{\arctan{\sinh x}}\cdot \cosh{x} }{(\cos{\arctan{\sinh{x}}})(1+\sinh^2{x})}=-\frac{\tan{\arctan{\sinh{x}}}\cosh{x} }{1+\sinh^2{x}}=\\=-\frac{\sinh{x}\cosh{x}}{1+\sinh^2{x}}$

funkcję są dośc pogięte i jeśli coś będzie niejasne, lub jeśli gdzieś się pomyliłem, o co również tu nietrudno, bardzo proszę się dopytywać co skąd i dlaczego?

pozdrawiam

---------------

"non enim possumus quae vidimus et audivimus non loqui

1 votes Thanks 1