Zadanie za 375 pkt!!!!!
Obliczyć pochodne. Proszę o rozpisanie przykładów i ich wyjaśnienie, napisanie wzorów z których się korzystało. Napisać czy to jest złożenie, dzielenie, mnożnie, dodawanie itp.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2025 KUDO.TIPS - All rights reserved.
w każdym niemalże przykładzie będę wykorzystywał wzor na pochodną funkcji złożonej:
1)najpierw policzby sobie taką pochodną:
zaś:
mam nadzieję, że się nie pomyliłem
2) pochodna:
gdzie log oznacza logarytm naturalny a nie dziesiętny (TeX zna tylko taką funkcję)
3)![y'=-0.5x^{-1.5}e^{x^2}+x^{-0.5}\cdot2xe^{x^2}-\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2(x+1)}=\\=-\frac{e^{x^2}}{2x^{1.5}}+2\sqrt{x}e^{x^2}-\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2(x+1)} y'=-0.5x^{-1.5}e^{x^2}+x^{-0.5}\cdot2xe^{x^2}-\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2(x+1)}=\\=-\frac{e^{x^2}}{2x^{1.5}}+2\sqrt{x}e^{x^2}-\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2(x+1)}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D-0.5x%5E%7B-1.5%7De%5E%7Bx%5E2%7D%2Bx%5E%7B-0.5%7D%5Ccdot2xe%5E%7Bx%5E2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%28x%2B1%29%7D%3D%5C%5C%3D-%5Cfrac%7Be%5E%7Bx%5E2%7D%7D%7B2x%5E%7B1.5%7D%7D%2B2%5Csqrt%7Bx%7De%5E%7Bx%5E2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%28x%2B1%29%7D)
gdzie pochodna:
4) zapiszmy to w nieco innej postaci:
5)![y'=-\frac{1}{\cos^2{(x-\cos x)}}\cdot (-\sin{(x-\cos x)})\cdot (1+\sin x)=\frac{\sin{(x-\cos x)}(1+\sin x)}{\cos{(x-\cos x)}} y'=-\frac{1}{\cos^2{(x-\cos x)}}\cdot (-\sin{(x-\cos x)})\cdot (1+\sin x)=\frac{\sin{(x-\cos x)}(1+\sin x)}{\cos{(x-\cos x)}}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E2%7B%28x-%5Ccos+x%29%7D%7D%5Ccdot+%28-%5Csin%7B%28x-%5Ccos+x%29%7D%29%5Ccdot+%281%2B%5Csin+x%29%3D%5Cfrac%7B%5Csin%7B%28x-%5Ccos+x%29%7D%281%2B%5Csin+x%29%7D%7B%5Ccos%7B%28x-%5Ccos+x%29%7D%7D)
6)![y'=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x) y'=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x)](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3De%5Ex%5Csin+x%2Be%5Ex%5Ccos+x%3De%5Ex%28%5Csin+x%2B%5Ccos+x%29)
jedna przyjemna pochodna się trafiła ;)
7)![y'=e^{\sqrt x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}+e^{-\sqrt{x}}\cdot\frac{-1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}(e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}})=\frac{\sinh{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} y'=e^{\sqrt x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}+e^{-\sqrt{x}}\cdot\frac{-1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}(e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}})=\frac{\sinh{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3De%5E%7B%5Csqrt+x%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%7D%7D%2Be%5E%7B-%5Csqrt%7Bx%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B-1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%7D%7D%28e%5E%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D-e%5E%7B-%5Csqrt%7Bx%7D%7D%29%3D%5Cfrac%7B%5Csinh%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D)
8)![y'=|x|+x\ sgn(x) y'=|x|+x\ sgn(x)](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%7Cx%7C%2Bx%5C+sgn%28x%29)
gdzie![(|x|)'=sgn(x) (|x|)'=sgn(x)](https://tex.z-dn.net/?f=%28%7Cx%7C%29%27%3Dsgn%28x%29)
funkcja signum (funkcja znaku) zwraca -1 dla x<0 oraz 1 dla x>0
9)![y=\frac{6\log{x}+1}{6x^6}\\ y'=\frac{\frac{6}{x}\cdot6x^6-(6\log{x}+1)\cdot36x^5}{36x^{12}}=\frac{-6x^5\log{x}}{x^{12}}=\\=-\frac{6\log{x}}{x^7} y=\frac{6\log{x}+1}{6x^6}\\ y'=\frac{\frac{6}{x}\cdot6x^6-(6\log{x}+1)\cdot36x^5}{36x^{12}}=\frac{-6x^5\log{x}}{x^{12}}=\\=-\frac{6\log{x}}{x^7}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%5Cfrac%7B6%5Clog%7Bx%7D%2B1%7D%7B6x%5E6%7D%5C%5C+y%27%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B6%7D%7Bx%7D%5Ccdot6x%5E6-%286%5Clog%7Bx%7D%2B1%29%5Ccdot36x%5E5%7D%7B36x%5E%7B12%7D%7D%3D%5Cfrac%7B-6x%5E5%5Clog%7Bx%7D%7D%7Bx%5E%7B12%7D%7D%3D%5C%5C%3D-%5Cfrac%7B6%5Clog%7Bx%7D%7D%7Bx%5E7%7D)
10)![y'=2x\sqrt{1+\sqrt{x}}+\frac{x^2}{2\sqrt{1+\sqrt{x}}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\\=2x\sqrt{1+\sqrt{x}}+\frac{x^2}{4\sqrt{x+x\sqrt{x}}} y'=2x\sqrt{1+\sqrt{x}}+\frac{x^2}{2\sqrt{1+\sqrt{x}}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\\=2x\sqrt{1+\sqrt{x}}+\frac{x^2}{4\sqrt{x+x\sqrt{x}}}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D2x%5Csqrt%7B1%2B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%5Csqrt%7B1%2B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%7D%7D%3D%5C%5C%3D2x%5Csqrt%7B1%2B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%5Csqrt%7Bx%2Bx%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7D)
11)![y=\frac{\sin^{20}{x}}{\sqrt{\sin x}}=\sin^{19.5}{x}\\ y'=19.5\sin^{18.5}{x}\cdot\cos x y=\frac{\sin^{20}{x}}{\sqrt{\sin x}}=\sin^{19.5}{x}\\ y'=19.5\sin^{18.5}{x}\cdot\cos x](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5E%7B20%7D%7Bx%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Csin+x%7D%7D%3D%5Csin%5E%7B19.5%7D%7Bx%7D%5C%5C+y%27%3D19.5%5Csin%5E%7B18.5%7D%7Bx%7D%5Ccdot%5Ccos+x)
12)![y'=\frac{6^x\log{6}(6^x+1)-(6^x-1)6^x\log{6}}{(6^x+1)^2}=\frac{\log{6}(6^{2x}+6^x-6^{2x}+6^x)}{(6^x+1)^2}=\\=\frac{2\log{6} 6^{2x}}{(6^x+1)^2} y'=\frac{6^x\log{6}(6^x+1)-(6^x-1)6^x\log{6}}{(6^x+1)^2}=\frac{\log{6}(6^{2x}+6^x-6^{2x}+6^x)}{(6^x+1)^2}=\\=\frac{2\log{6} 6^{2x}}{(6^x+1)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%5Cfrac%7B6%5Ex%5Clog%7B6%7D%286%5Ex%2B1%29-%286%5Ex-1%296%5Ex%5Clog%7B6%7D%7D%7B%286%5Ex%2B1%29%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Clog%7B6%7D%286%5E%7B2x%7D%2B6%5Ex-6%5E%7B2x%7D%2B6%5Ex%29%7D%7B%286%5Ex%2B1%29%5E2%7D%3D%5C%5C%3D%5Cfrac%7B2%5Clog%7B6%7D+6%5E%7B2x%7D%7D%7B%286%5Ex%2B1%29%5E2%7D)
13)![y'=\frac{1}{\cos{\arctan{\frac{e^x-e^{-x}}{2}} }}\cdot (-\sin{\arctan{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}})\cdot \frac{1}{1+0.25(e^x-e^{-x})^2}\cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2} y'=\frac{1}{\cos{\arctan{\frac{e^x-e^{-x}}{2}} }}\cdot (-\sin{\arctan{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}})\cdot \frac{1}{1+0.25(e^x-e^{-x})^2}\cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%7B%5Carctan%7B%5Cfrac%7Be%5Ex-e%5E%7B-x%7D%7D%7B2%7D%7D+%7D%7D%5Ccdot+%28-%5Csin%7B%5Carctan%7B%5Cfrac%7Be%5Ex-e%5E%7B-x%7D%7D%7B2%7D%7D%7D%29%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B0.25%28e%5Ex-e%5E%7B-x%7D%29%5E2%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7Be%5Ex%2Be%5E%7B-x%7D%7D%7B2%7D)
ze względów oczywistych nie będę tego wymnażał, można jedynie zastosować podstawienie funkcją specjlaną:
funkcję są dośc pogięte i jeśli coś będzie niejasne, lub jeśli gdzieś się pomyliłem, o co również tu nietrudno, bardzo proszę się dopytywać co skąd i dlaczego?
pozdrawiam
---------------
"non enim possumus quae vidimus et audivimus non loqui