Proszę odpowiedzieć na pytania i każde wyjaśnić:1. Podaj przykład funkcji, której ekstremum nie możn.... Question from @Anielka

October 2018 1 52 Report

Proszę odpowiedzieć na pytania i każde wyjaśnić:
1. Podaj przykład funkcji, której ekstremum nie można wyznaczyć za pomocą twierdzenia Fermata.
2. Narysuj wykres funkcji która jest jednocześnie: niemalejąca, nie jest rosnąca, ma asymptotę ukośną lewostronną y=x, ma asymptotę poziomą prawostronną y=0.
3. Podać przykład funkcji ograniczonej z dołu i rosnącej
4. Czy funkcja y=|x| jest różnowartościowa? Pokazać graficznie
5. Pokazać zależność między funkcjami: ciągłą, całkowalną i różniczkowalną

6. Przykład granicy gdzie x_0=0

7. Czy ciąg rosnący i ograniczony może być zbieżny do więcej niż jednego punktu

8. Podać przykład funkcji która ma nieskończenie wiele ekstremów lokalnych

9. Czy podciąg ciągu rozbieżnego może być zbieżny? Uzasadnić

10. Czy każda funkcja ciągła jest różniczkowalna? Uzasadnić

platon1984

1. Twierdzenie Fermata, czyli warunek konieczny istnienia ekstremum sprowadza się do zerowania pierwszje pochodnej, czyli, że styczna do krzywej jest w danym punkcie pozioma. Jeżli funkcja będzie nieróżniczkowalna w tym punkcie (nie ma stycznej) to i warunek Fermata zawodzi.

przykładem takim jest funkcja f(x)=|x|

2. Funkcja niemalejąca, kŧóra nie jest rosnąca, to zostaje tylko stała, ale ponieważ ma mieć asymptoty, to stała być nie może - pozostaje funkcja niemonotoczniczna. lub monotoniczna przedziałami:

3. Funkcja

$f(x)=2^x$

ograniczona przez y=0 i rosnąca w całej dziedzinie

4. Nie, funkcja ta nie jest różnowartościowa, gdyż każda dodatnia wartość przyjmowana jest dla argumentów o przeciwnym znaku:

$y=|x|\ \textrm{oraz}\ y=|-x|$

5. Funkcja f(x) jest ciągła w danym obszarze D, jeżeli każdemu argumentowi x z tego obszaru odpowiada skończony wartość y , taka, że f(x)=y

W oczywisty sposób funkcja nieciągła w jakimś punkcie A jest w nim z reguły nieróżnikowalna, gdyż nie można mówić o stycznej do krzywej, w punkcie w którym ma ona np. nieskończoną wartość. Funkcja może być nieróżniczkowlana także dla funkcji ciągłej - przykład:

$f(x)=|x|$

pochodna tej funkcji to:

$f(x)=sgn(x)$ funkcja znaku, która jest nieokreślona dla x=0. Generlanie zawsze jeśli funkcja ma "ostrza" nie jest ona różniczkowalna

Całkowalność definiuje się zwykle jako istnienie skończonej całki w rozważanym obszarze, tj. istnienie skończonej granicy ciągu podziałów w danym obszarze (zbieżność w sensie Riemanna).

Odpowiada to wyobrażeniu o całce jako polu powierzchni pod krzywą; pole takie zawsze możemy liczyć dokunując podziału przestrzeni na małe przedziały i sumować ich pola. Jeśli suma taką będzie skończona i będzie niezależna od przedziałów pośrednich to funkcja jest całkowalna.

Każda funkcja ciągła jest całkowalna. Funkcja nieciągła może być całkowalna np. w sensie wartości głównej:

$\mathcal{P}\int\limits^{x_2}_{x_1}{f(x)\, dx}=\int\limits^{p-\epsilon}_{x_1}{f(x)\, dx}+\int\limits^{x_2}_{p+\epsilon}$

przykładem takiej funkcji jest f(x)=1/x, która dla przedziałów zawerających 0 wymaga stosowania wartości glównej.

6. Chyba nie do końca rozumiem to pytanie:

$\lim_{x\to x_0=0}{\frac{\sin(x)}{x}}=1$

wyprowadza sie to z tw. o trzech ciągach i ciągów ograniczających:

$\sin(x)<x<\tan(x)\\ \cos x<\frac{\sin x}{x}<1$

inny przykład:

$\lim_{x\to x_0=0}{x\ln x}=\lim_{x\to 0}{\frac{\ln x}{1/x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{1/x}{-1/x^2}}=0$

7. W przestrzeni liczb rzeczywistych i zespolonych raczej także ciąg może być zbieżny tylko do jednego punktu (podono istnieją takie przestrzenie, gdzie tylk opunktów może być wiecej, i wtedy granicą ciągu jest zespoł punktów, ale to już niewiele ma wspólnego ze zdrowym rozsądniem ;) )

8. Najprostszą taką funkcją jest funkcja periodyczna:

$f(x,y,z)=\cos{x}-\sin{y}+\sin{y}\cos{x}$

9. Jeżeli tylko ciąg jest ograniczony to istnienie podciągu zbieżnego wynika z tw. Boltzano-Weistrassa.

Jeżeli weźmiemy ciąg przemienny:

$a_n=(-1)^n(1+\frac{1}{n})^n$

to nie jest on zbieżny, lecz jego podciąg polegający na wybraniu tylko elementów jednego znaku już zbieżny będzie.

10. Nie, nie każda funkcja ciągle jest różniczkowalna - przykład z |x| kilka pytań wcześniej

pozdrawiam