Question

Zadanie o siecznych okręgu :)

Answer 1

Oznaczenia (patrz załącznik):

P - punkt przecięcia prostych k i l oraz siecznej okręgu o środku S₁

A, B - punkty należące do siecznej

C - punkt styczności okręgów należący do prostej k

D - punkt styczności mniejszego okręgu należący do prostej l

 

|PD| = 6

|AB| = 5

|PB| = x

 

1) Obliczamy długość odcinka |PC|

Trójkąty PS₂D i PS₂C są trójkątami prostokątnymi (odcinki S₂D i S₂C to promienie okręgu, które są prostopadłe do prostych stycznych do okręgu) i mają wspólną przeciwprostokątną PS₂, a boki S₂D i S₂C mają tę samą długość. Zatem boki PD i PC są równe: |PD| = |PC|

Stąd:

|PD| = |PC| = 6

 

2) Obliczamy długość odcinka x

Skorzystamy z twierdzenia o związkach miarowych między odcinkami stycznych i siecznych: Jeżeli z punktu P leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzimy prostą sieczną przecinającą dany okrąg w punktach A i B oraz styczną do okręgu w punkcie C, to zachodzi równość: |PA|·|PB| = |PC|².

Dowód tego tw. możesz znaleźć np. w Suplemencie do podręcznika. Matematyka I. Zakres podstawowy z rozszerzeniem str. XXIII (gwo.pl/files/download/4478)

 

Wiedząc, że:

|PA| = |PB| + |AB| = x + 5 i |PC| = 6

oraz na podstawie tw. o odcinkach stycznej i siecznej:

|PA|·|PB| = |PC|²

otrzmujemy:

(x + 5) · x = 6²

x² + 5x = 36

x² + 5x - 36 = 0

Δ = 5² - 4 · 1 · (- 36) = 25 + 144 = 169

√Δ = √169 = 13

x₁ = (- 5 - 13) / (2·1) = - 18 / 2 = - 9 (odrzucamy, bo x to długość odcinka, czyli x > 0)

x₂ = (- 5 + 13) / (2·1) = 8 / 2 = 4

Zatem x = 4

 

Odp. Długość odcinka x wynosi 4.