Question

Zad1
Wierzchołkami trójkąta są punkty A=(-1,3) B=(-2,0) C=(2,-3).Oblicz pole tego trójkąta.
zad2
Wierzchołkami trójkątów ABC i EFG są punkty A=(-1,3),B=(-4,6), C=(0,10) oraz E=(1,1),F=(7,7),G=(15,-1).
a)wykaż,że trójkąty ABC i EFG są podobne oraz podaj skalę ich
podobieństwa.
b)oblicz pola obu trójkątów

Answer 1

Zad.1
Wierzchołki trójkąta: A=(-1,3) B=(-2,0) C=(2,-3).
PΔABC = ?
{Zadanie to można zrobić kilkoma sposobami
I sposób:
1. Liczymy długość jednego z boków, np. IABI.
2. Wyznaczamy równanie prostej k, prostopadłej do
prostej AB.
3. Wyznaczamy współrzędne punktu P, który jest końcem wysokości trójkąta i leży na boku AB.
4. Teraz obliczamy wysokość trójkąta CP.
5. Liczymy pole trójkąta ABC: ½IABI*ICPI.
II sposób:
1. Liczymy długość jednego z boków, np. IABI.
2. Wyznaczamy równanie prostej AB.
3. Liczymy wysokość trójkąta CP, korzystając z wzoru na odległość punktu (u nas C) od prostej (nasza prosta AB).
4. Liczymy pole trójkąta ABC: ½IABI*ICPI.
III sposób:
Korzystamy z wzoru:
P = ½I(xb-xa)(yc-ya)-(yb-ya)(xc-xa)I,
[jest to wyznacznik pary wektorów AB i AC]
gdzie A=(xa,ya), B=(xb,yb), C=(xc,yc).
IV sposób:
Korzystamy z wzoru Herona:
P= √[p(p-a)(p-b)(p-c)], gdzie p=(a+b+c)/2 - jest to połowa
obwodu trójkąta, a,b,c są to boki.}
Najprościej jest skorzystać z gotowego wzoru (sposób III):
P = ½I(xb-xa)(yc-ya)-(yb-ya)(xc-xa)I
A=(-1,3) B=(-2,0) C=(2,-3)
P = ½I(-2+1)*(-3-3)-(0-3)(2+1)I = ½I(-1)*(-6)-(-3)*3I
P = ½I6 + 9I = ½*15 = 7,5
I sposób:
Obliczamy długość boku AB trójkąta ABC:
{korzystamy z wzoru na długość odcinka
IXYI= √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²], gdzie X=(x₁,y₁) i Y=(x₂,y₂)}
bok AB :√[(-2+1)²+(0-3)²]= √[1²+(-3)²]= √10
wyznaczamy równanie prostej AB (wzór na prostą
przechodzącą przez dwa punkty y-yb= [(ya-yb)/(xa-xb)](x-xb)
y - 0 = [(3-0)/(-1+2)]*(x+2)
y = 3(x+2) = 3x+6
prosta k jest prostopadła do prostej AB, więc ma równanie:
y = -⅓x+b i do niej należy punkt C =(2,-3)
-3 = -⅓*2 + b, stąd b = -2⅓
y = -⅓x - 2⅓
Obliczamy współrzędne punktu P, który leży na przecięciu
prostej AB i prostej k.
y = 3x+6 i y=-⅓x-2⅓
3x+6 = -⅓x-2⅓
3⅓x = -8⅓
x = -8⅓:3⅓ = -2,5
y = 3*(-2,5)+6 = -7,5+6= -1,5
P=(-2,5;-1,5)
ICPI = √[(-2,5-2)²+(-1,5+3)²]= √[(-4,5)²+(1,5)²]= √(⁹⁰/₄) = ³/₂√10
P = ½IABI*ICPI=½*√10*³/₂*√10= 7,5
Odp. Pole trójkąta ABC jest równe 7,5.

zad. 2
Wierzchołkami trójkątów ABC i EFG są punkty A=(-1,3),B=(-4,6), C=(0,10) oraz E=(1,1),F=(7,7),G=(15,-1).
Obliczamy długości boków trójkąta ABC:
{korzystamy z wzoru na długość odcinka jak w zadaniu 1}
IABI = √[(-4+1)²+(6-3)²]= √[9+9]= 3√2
IBCI = √[(0+4)²+(10-6)²]= √[16+16]= 4 √2
ICAI = √[(-1-0)²+(3-10)²]= √[1+49]= 5√2

Obliczamy długości boków trójkąta EFG:
IEFI = √[(7-1)²+(7-1)²]= √[36+36]= 6√2
IFGI = √[(15-7)²+(-1-7)²]= √[64+64]= 8√2
IGEI = √[(1-15)²+(1+1)²]= √[196+4]= √200= 10√2
a) trójkąty ABC i EFG są podobne, bo odpowiednie boki są proporcjonalne w skali k = 2
k = IEFI/IABI = IFGI/IBCI = IGEI/ICAI
k = (6√2)/(3√2) = (8√2)/(4 √2) = (10√2)/(5√2) = 2

b) obliczamy pole trójkąta ABC i trójkąta EFG:
Można zauważyć, że te trójkaty są prostokątne:
dla ΔABC
(3√2)² + (4 √2)² = (5√2)², bo 18+32 = 50
PΔABC = ½*3√2*4 √2 = 12
dla ΔEFG
(6√2)² + (8 √2)² = (10√2)², bo 72+128 = 200
PΔEFG = k²*12 = 2²*12 = 48
{lub PΔEFG = ½*6√2*8 √2 = 48}