Question

Zad1
Dany jest romb o przekątnych a,b oraz równoległobok o kącie ostrym 45° i bokach a,b.Wykaż,że stosunek pola równoległoboku od pola rombu jest równy √2.
zad2
narysuj okrąg k:x²+(y-2)²=9 i prostą l:y=x-1.Z rysunku odczytaj współrzędne punktów A,B w których prosta l przecina okrąg k. Oblicz długość cięciwy AB.
zad3
wyznacz wzór funkcji zmiennej x opisującej objętość prostopadłościanu (rysunek):
a)podaj dziedzinę tej funkcji
b)dla jakiej wartości x objętość prostopadłościanu jest równa 30?


krawędz boczna x
podstawa dolna x-1
krawędz podstawy x-5

Answer 1

Zad.1
Pole rombu P₁ o przekątnych a i b:
P₁= ½*a*b {iloczyn przekątnych przez 2}
Pole równoległoboku P₂ o kącie ostrym α= 45⁰ oraz bokach a i b:
P₂ = a*h= a*b*sinα = ab*sin45⁰ = ab*√²/₂ {korzystamy z tego, że obliczamy wysokość równoległoboku z proporcji trygonometrycznej sinα = h/b, stąd h= b*sinα}
Obliczamy stosunek pola równoległoboku do pola rombu:
P₂/P₁= [ab*√²/₂]/[½*a*b] = [√²/₂]:[½] = (√²/₂) *2 = √2
Odp. Stosunek pola równoległoboku do pola rombu
jest równy √2.

Zad.2
Okrąg k: x²+(y-2)²= 9
środek okręgu S= (0,2) i promień r = 3
Prosta l: y= x-1
punkt przecięcia z osią x: Px= (1,0)
punkt przecięcia z osią y: Py= (0,-1)
Prosta l przecina okrąg k w punktach:
A= (0,-1) i B= (3,2)
{Można to też obliczyć dla:
y= x-1
x²+(y-2)²= 9, x²+(x-1-2)²= 9, x²+(x-3)²=9, x²+ x²- 6x+ 9= 9,
x²+ x²- 6x+ 9= 9
2x² - 6x = 0 /:2
x² - 3x = 0, x(x-3), stąd x₁= 0, x₂= 3, więc y₁= -1, y₂= 2
punkty(0,-1), (3,2)}
Obliczamy długość cięciwy AB:
IABI=√[(3-0)²+(2+1)²]= √(9+9)= √(2*9)= 3√2
Odp. Długość cięciwy AB jest równa 3√2.

Zad.
wzór funkcji zmiennej x opisującej objętość prostopadłościanu
V= f(x) = x(x-1)(x-5), gdzie:
x - krawędź boczna
(x-1) - krawędź podstawy
(x-5) - druga krawędź podstawy
a)
Dziedzina tej funkcji to zbiór liczb rzeczywistych dodatnich większych od 5:
każda krawędź musi być liczbą dodatnią, czyli:
x>0,
i x-1>0, x>1
i x-5>0, x>5
stąd x>5, czyli x∈(5, +∞)
Odp. D= {x: x∈(5, +∞)}
b)
mamy dane V= 30
V= f(x) = x(x-1)(x-5)= 30
x(x-1)(x-5)= 30
(x²- x)(x-5) - 30 = 0
x³ - 5x² - x² + 5x - 30 = 0
x³ - 6x²+ 5x - 30 = 0
x²(x- 6) + 5(x- 6) = 0
(x- 6)(x² + 5) = 0
x = 6 {bo x² + 5 > 0}
dla x= 6, V= f(6)= 30
spr. V= f(6) = 6*(6-1)(6-5)= 6*5*1= 30
Odp. Dla krawędzi x= 6 objętość tego prostopadłościanu
jest równa 30.