Question

Zad1
napisz równanie okręgu:
a)o środku w punkcie S=(-4,-1) i promieniu równym pierwiastek z 2
b)o środku w punkcie S=(-1,2) i przechodzącego przez punkt A=(3,4)
c)o środku S=(3,2) i przechodzącego przez początek układu
współrzędnych
d) o średnicy,której końcami są punkty A=(-8,3) i B=(2,5)

Answer 1

A)
Równanie okręgu: (x-a)²+ (y-b)² = r², gdzie środek okręgu
S=(a,b) i promień okręgu r
mamy S = (-4,-1) i r = √2
(x+ 4)²+ (y+ 1)² = (√2)²
x²+ 8x+ 16+ y²+ 2y+ 1 = 2
x²+ y²+ 8x+ 2y+ 15= 0
Odp. Równanie okręgu ma postać:
(x+ 4)²+ (y+ 1)² = (√2)²
lub x²+ y²+ 8x+ 2y+ 15= 0

b)
mamy S= (-1,2), więc a= -1, b= 2
(x-a)²+ (y-b)² = r²
(x+ 1)²+ (y- 2)² = r²
i punkt A=(3,4), który należy do okręgu
(3+ 1)²+ (4- 2)² = r²
4² + 2² = r²
16 + 6 = 20
r= √20 = √(4*5)= 2√5
czyli równanie okręgu ma postać
(x+ 1)²+ (y- 2)² = (2√5)²
x²+ 2x+ 1+ y²- 4y+ 4 = 20
x²+ y²+ 2x- 4y- 15 = 0
Odp. Równanie okręgu ma postać:
(x+ 1)²+ (y- 2)² = (2√5)²
lub x²+ y²+ 2x- 4y- 15= 0

c)mamy S=(3,2), więc a= 3 i b= 2
(x-a)²+ (y-b)² = r²
(x- 3)²+ (y- 2)² = r²
i punkt P=(0,0), który należy do okręgu(początek układu współ.)
(0- 3)²+ (0- 2)² = r²
(-3)² + (-2)² = r²
9 + 4= 13
r= √13
czyli równanie okręgu ma postać
(x- 3)²+ (y- 2)² = (√13)²
x²- 6x+ 9+ y²- 4y+ 4 = 13
x²+ y²- 6x- 4y = 0
Odp. Równanie okręgu ma postać:
(x- 3)²+ (y- 2)² = (√13)²
lub x²+ y²- 6x- 4y = 0

d) dana jest średnica AB okręgu, gdzie A= (-8,3) i B= (2,5),
obliczamy jej długość
{korzystamy z wzoru na długość odcinka AB,
A= (xa,ya), B= (xb,yb), IABI = √[(xb-xa)²+ (yb-ya)²]}
IABI = √[(2+8)²+ (5-3)²]= √[(2+8)²+ (5-3)²]
IABI = √[10²+ 2²]= √104 = 2√26
promień okręgu r = √26
Środek okręgu S ma współrzędne a i b: {średnia arytmetyczna początku i końca współrzędnych odcinka AB}
a = (-8+2)/2 = -3
b = (3+5)/2 = 4
S= (-3, 4)
Korzystamy z równania okręgu (x-a)²+ (y-b)² = r²
(x+ 3)²+ (y- 4)² = (√26)²
x²+ 6x+ 9+ y²- 8y+ 16 = 26
x²+ y²+ 6x- 8y- 1 = 0
Odp. Równanie okręgu ma postać:
(x+ 3)²+ (y- 4)² = (√26)²
lub x²+ y²+ 6x- 8y- 1 = 0