Question

Zad1
sprawdz czy ciąg (an) jest arytmetyczny,gdy jego kolejnymi wyrazami są liczby:
a)3,7,11,15,19
b)8,5,2,-1,-5
c)7,7,7,7

Zad2
Sprawdz czy ciąg (an) określony podanym wzorem jest arytmetyczny.Jeśli tak,to określ jego monotoniczność,gdy:
a)an=4n-1
b)an=-2n+8
c)an=-5
d)an=3-2n²

Zad3
Wiedząc,że ciąg (bn) jest ciągiem arytmetycznym,napisz wzór na n-ty wyraz tego ciągu,gdy:
a)b₁=2 i r=3
b)b₂=5 i b₃=1
c)b₁=√3 i b₂=3√3

Answer 1

Zad1
sprawdz czy ciąg (an) jest arytmetyczny,gdy jego kolejnymi wyrazami są liczby:
a)3,7,11,15,19
r=7-3=4
r=11-7=4
r= 15-11=4
r=19-15=4
Zatem każdy wyraz ciągu różni się od poprzedniego o tą samą liczbę r=4 więc jest to ciąg arytmetyczny
b)8,5,2,-1,-5
r=8-5=5-2=2-(-1)=3 ale -1-(-5)=4 więc nie jest to ciąg arytm.

c)7,7,7,7
r=0
ciąg arytmetyczny

Zad2
Sprawdz czy ciąg (an) określony podanym wzorem jest arytmetyczny.Jeśli tak,to określ jego monotoniczność,gdy:
a)an=4n-1
b)an=-2n+8
c)an=-5
d)an=3-2n²

a) n=1,2,3 ...
a1=3
a2=7
a3=11
a4=15 zatem
r=4 więc jest to ciąg arytm.
tworzę wyraz a(n+1)
a(n+1)=4n+4-1=4n+3
tworzymy różnicę
a(n+1)-an=4n+3-4n+1=4>0 ciąg rosnący

b)an=-2n+8
a1=6
a2=4
a3=2
a4=0
r=2 ciąg arytm.
-2n-2+8-(-2n+8)=-2n+6+2n-8=-2<0 ciąg malejący
c)an=-5 ciąg arytm. r=0

Answer 2

1a) tak,
3, 3+r, 3+2r, 3+3r, 3+4r
r = 7-3 = 4
3+2*4 = 11
3+3*4 = 15
3+4*4 = 19

b) nie,
r= 5-8 = -3
...
-1 + (-3) = -4
ostatni wyraz nie pasuje
c) tak,
r=0

2a) tak, rosnący
b) tak malejący
c) tak, stały
d) nie

3a) bn = 2 + (n-1)*3 = 2+ 3n -3 = 3n -1
b) r = 1-5 = -4
bn = 9 + (n-1)*(-4) = 9 - 4n + 4 = -4n + 13
c) r = 3√3 - √3 = 2√3
bn = √3 + (n-1)2√3 = √3 + 2√3n - 2√3 = 2√3n -√3

Answer 3

Zad1
sprawdz czy ciąg (an) jest arytmetyczny,gdy jego kolejnymi wyrazami są liczby:
a)3,7,11,15,19 - tak, r=4
b)8,5,2,-1,-5 - nie
c)7,7,7,7 - tak, r=0

Zad2
Sprawdz czy ciąg (an) określony podanym wzorem jest arytmetyczny.Jeśli tak,to określ jego monotoniczność,gdy:
a)an=4n-1
an+1-an=4n+4-1-4n-1=2, jest arytmetyczny
Ciąg rosnący
b)an=-2n+8
an+1-an=-2n-2+8+2n-8=-2, jest arytmetyczny
ciąg malejący
c)an=-5
ciąg stały, jest arytmetyczny
d)an=3-2n²
an+1-an=3-2(n+1)²-3+2n²=3-2n²-2n-1-3+2²=-1-2n nie jest arytmetyczny

Zad3
Wiedząc,że ciąg (bn) jest ciągiem arytmetycznym,napisz wzór na n-ty wyraz tego ciągu,gdy:
an=a1+(n-1)r
a)b₁=2 i r=3 => 2+(n-1)3=2+3n-3=3n-1
b)b₂=5 i b₃=1 r=b3-b2=-4 a1=9 => 9+(n-1)-4=9-4n+4=-4n+13
c)b₁=√3 i b₂=3√3 r=3√3-√3=2√3 => √3+(n-1)2√3=√3+2√3n-2√3=2√3n-√3