Question

Zad1
Punkty A,B,C są wierzchołkami trójkąta.Wykaż,że trójkąt ABC jest prostokątny.Oblicz pole trójkąta oraz kąty ostre w trójkącie,gdy:
a)A=(4,-1) B=(2,3) C=(1,2)
b)A=(2,1) B=(5,2) C=(3,3)

Zad2
Punkt A=(-2,4) i punkt B=(5,-2)są wierzchołkami trójkąta ABC.Wyznacz takie współrzędne wierzchołka C,aby środek boku BC leżał na osi odciętych,a środek boku AC na osi rzędnych.

zad3
Punkty: A=(-1,-2),B=(2,-1),C=(1,2) są wierzchołkami trójkąta ABC.
a)oblicz długość odcinka AB
b)napisz równanie prostej m,do której należą punkty B i C.
c)napisz równanie prostej k prostopadłej do prostej m,takiej że A ∈k.
d)uzasadnij,że środek okręgu opisanego na trójkącie ABC nie należy do prostej k.

Answer 1

Z.1
a)
A =(4;-1), B=(2; 3), C = (1; 2)
wektor AB = [2-4;3-(-1)] = [-2;4]
wektor AC = [1-4;2-(-1)] = [-3; 3]
wektor BC = [1-2; 2-3] = [-1; -1]
I AB I² =(-2)² + 4² = 4 + 16 = 20
I AC I² =(-3)² + 3² = 9 + 9 = 18
I BC I² = (-1)² + (-1)² = 1 + 1 = 2
Mamy I AC I² + I BC I² = 18 + 2 = 20 = I AB I²
więc Δ ABC jest prostokątny.
P ΔABC = 0,5*I AC I*IBC I = 0,5*√18*√2 = 0,5*√36 = 0,5*6 = 3 j²
tg α = √2 / √18 = √(1/9) = 1/3 ≈ 0,3333
α ≈ 18⁰25¹
β = 90⁰ - α = 71⁰35¹
b)
A =(2;1), B = (5;2), C = (3; 3)
wektor AB = [5-2;2-1] = [3;1]
wektor AC = [3-2;3-1] = [1;2]
wektor BC = [3-5; 3-2] = [-2;1]
I AB I² = 3² + 1² = 9 +1 = 10
I AC I² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5
I BC I² = (-2)² +1² = 4 +1 = 5
Mamy I AC I² + I BC I² = 5 + 5 = 10 = I AB I²
więc Δ ABC jest prostokątny.
P Δ ABC = 0,5*I AC I * IBC I = 0,5*√5*√5 = 0,5 * 5 = 2,5 j²
Δ ABC jest równoramienny zatem ma katy ostre o miarach 45⁰.

z.2
A = (-2; 4), B = (5;-2)
Znaleźć punkt C
S1 - środek odcinka BC
S1 = ( (5 +x1)/2: (-2+y1)/2)
Aby środek odcinka BC leżał na osi rzędnych musi zachodzić
(5+x1)/2 = 0 , czyli x1 = -5
S2 - środek odcinka AC
S2 =( (x1 -2)/2; (y1 +4)/2)
Aby środek odcinka AC leżał na osi odcietych musi zachodzic
(y1 +4)/2 = 0 , czyli y1 = -4
Mamy więc C = ( -5; -4)
z.3
A = (-1; -2), B = (2; -1), C = (1 ; 2)
a) wektor AB = [2-(-1); -1 - (-2)] = [3 ; 1]
I AB I ² = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
I AB I = √10
b)
równanie prostej m ( czyli pr. BC )
y = ax + b
-1 = 2a + b
2 = a + b
------------------
a = -3
b = 2 - a = 2 -(-3) = 2 +3 = 5
m : y = -3 x + 5
c) równanie prostej k prostopadłej do prostej m i takiej, że
A ∈ k
-3*a1 = - 1 ---> a1 = 1/3
y = (1/3) x + b1
-2 = (1/3) *(-1) + b1 ---> b1 = -2 + 1/3 = -6 /3 + 1/3 = - 5/3
k : y = (1/3) x - 5/3
d) Środek okręgu opisanego na Δ ABC leży na przeciwprostokątnej AC ( jest to środek odcinka AC) zatem
nie może leżeć na prostej k, która przechodzi przez punkty
A oraz B czyli zawiera przyprostokątną AB.
Uzasadnienie:
B = (2 ; -1)
-1 = (1/3)* 2 - 5/3 = 2/3 - 5/3 = = -3/3 = -1
wektor BC =[1-2; 2-(-1)] = [ -1;3]
wektor AC = [1-(-1); 2 -(-2)] = [2; 4]
mamy I AB I² = 10
I BC I² = (-1)² + 3² = 1 + 9 = 10
I AC I² = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
I AB I² + I BC I² = 10 + 10 = 20 = I AC I ²
czyli rzeczywiście Δ ABC jest prostokątny ( odcinek AC jest
przeciwprostokątną) .