Zad. 7 str. 133 z.z.Funkcja i funkcja kwadratowa mają wspólne miejsca zerowe. Wyznacz wzór funkcji.... Question from @marcinasdd

November 2018 1 8 Report

Zad. 7 str. 133 z.z.
Funkcja $g(x) = \frac{1}{4}x^2 - x - 3$ i funkcja kwadratowa $f$ mają wspólne miejsca zerowe. Wyznacz wzór funkcji $f$ , wiedząc, że najmniejsza wartość, jaką przyjmuje ta funkcja, jest równa -8.

zad. 8 str. 133 z.z.
Wykres funkcji $f(x) = \frac{1}{3}x^2$ przesunięto o wektor i otrzymano wykres trójmianu kwadratowego, którego pierwiastkami są liczby -2 i 6. Podaj współrzędne tego wektora.

zad. 9 str. 134 z.z.
Wyznacz algebraicznie i graficznie współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji $f(x)= x^2 - 2x -3$ i $g(x) = x-5$ . Odczytaj z rysunku zbiór rozwiązań nierówności $f(x) \leq g(x)$ .

Roma Zad. 7
Dane są funkcje:
$g(x) = \frac{1}{4}x^2 - x - 3 \ i \ f(x) = ax^2 +bx + c$
Funkcje g i f mają wspólne miejsca zerowe, wyznaczamy więc miejsca zerowe funkcji g, które będą również miejscami zerowymi funkcji f:
$\frac{1}{4}x^2 - x - 3 = 0 \\\\
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-3) = 1 +3 = 4 \\\\
x_1 = \frac{1 - \sqrt{4}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1 - 2}{\frac{1}{2}}= \frac{- 1}{\frac{1}{2}} =- 1 :\frac{1}{2} = -1 \cdot 2 = -2 \\\\
x_2 = \frac{1 + \sqrt{4}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1 +2}{\frac{1}{2}}= \frac{3}{\frac{1}{2}} =3 :\frac{1}{2} = 3 \cdot 2 =6$

Znając miejsca zerowe funkcji f możemy zapisać wzór funkcji w postaci iloczynowej:
y = a · (x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁, x₂ to miejsca zerowe funkcji, zatem:
$y =a \cdot (x+2)(x-6)$

Najmniejsza wartość, jaką przyjmuje funkcja f, jest równa - 8, czyli druga współrzędna wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji f, jest równa q = - 8.
Pierwsza współrzędna p jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych x₁ i x₂ funkcji, zatem:
$p = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-2+6}{2} = \frac{4}{2} =2$

Stąd wierzchołek W paraboli ma współrzędne: W = (2; - 8), które spełniają równanie funkcji, zatem:
$- 8 =a \cdot (2+2)(2-6) \\\
a \cdot 4 \cdot (- 4) = - 8 \\\
a \cdot (- 16) = - 8 \ \ /:(16) \\\
a = \frac{-8}{-16} \\\
a= \frac{1}{2}$

Wzór funkcja f w postaci iloczynowej to:
$y =\frac{1}{2} \cdot (x+2)(x-6)$

Przekształcając ten wzór otrzymujemy wzór funkcji f w postaci ogólnej:
$y =\frac{1}{2} \cdot (x+2)(x-6) \\\
y =\frac{1}{2} \cdot (x^2 - 6x +2x- 12) \\\
y =\frac{1}{2} \cdot (x^2 - 4x- 12) \\\
y =\frac{1}{2}x^2 - 2x- 6$

Znając współrzędne wierzchołka paraboli W = (2; - 8) możemy zapisać wzór funkcji f w postaci kanonicznej:
y = a · (x - p)² + q, gdzie p i q to współrzędne wierzchołka paraboli, zatem:
$y =\frac{1}{2} \cdot (x - 2)^2 - 8$

Zad. 8
Wykres funkcji $f(x) = \frac{1}{3}x^2$ przesunięto o wektor $\vec{v} =[a; \ b]$ i otrzymano wykres trójmianu kwadratowego, czyli parabolę.

Aby zapisać równanie otrzymanej paraboli, skorzystamy ze wzoru na przesunięcie funkcji y = f(x) o wektor $\vec{v} =[a; \ b]$ :
$y = f(x -a) + b$

Zatem parabola będzie miała równanie:
$y= \frac{1}{3} \cdot (x - a)^2 + b$

Wiemy, że pierwiastkami tego równania są liczby - 2 i 6, zatem współrzędne punktów: (- 2; 0) i (6; 0) spełniają to równanie, stąd otrzymujemy:
$\left \{ {{\frac{1}{3} \cdot (-2 - a)^2 + b = 0 \ / \cdot 
3} \atop {\frac{1}{3} \cdot (6 - a)^2 + b = 0 \ / \cdot 3}} \right. \\\\
\left \{ {{(-2 - a)^2 + 3b = 0} \atop {(6 - a)^2 + 3b = 0}} \right. \\\\
\left \{ {{3b = -(-2 - a)^2} \atop {(6 - a)^2 -(-2 - a)^2 = 0}} \right.$

Rozwiązujemy II równanie układu:
$(6 - a)^2 -(-2 - a)^2 = 0 \\\
36 - 12a +a^2 - (4+4a +a^2) = 0 \\\
36 - 12a +a^2 - 4-4a -a^2 = 0 \\\
-16a +32 = 0 \\\
- 16a = - 32 \ /:(-16) \\\
a = 2$

Podstawiamy do I równania i otrzymujemy:
$3b = -(-2 - a)^2 \\\
3b = -(-2 - 2)^2 \\\
3b = -(-4)^2 \\\
3b = -16 \ /:3 \\\
b = -\frac{16}{3} \\\
b = -5\frac{1}{3}$
Stąd:
$\left \{ {{a = 2} \atop {b = -5\frac{1}{3}} \right.$

Zatem wektor v ma współrzędne:
$\vec{v} =[2; \ -5\frac{1}{3}]$

Zad. 9
Dane są funkcje: $f(x)= x^2 - 2x -3 \ i \ g(x) = x-5$

Punkty przecięcia się wykresów funkcji f i g to punkty, które należą do obu tych wykresów, zatem:
$x^2 - 2x -3 = x-5 \\\
x^2 - 2x -3 - x+5 = 0\\\
x^2 - 3x +2 = 0\\\
\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \\\
x_1 = \frac{3- \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \\\
x_2 = \frac{3+ \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Stąd:
$x = 1 \Rightarrow y = 1-5 = - 4 \\\
 x = 1 \Rightarrow y = 2-5 = - 3$

Punkty przecięcia wykresów funkcji f i g to: (1; - 4) i (2; - 3)

Współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji możemy wyznaczyć graficznie, w tym celu musimy narysować wykresy funkcji f i g.

Wykresem funkcji f jest parabola o równaniu: $y= x^2 - 2x -3$ przecinająca oś OY w punkcie (0; - 3).

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f:
$x^2 - 2x -3 = 0 \\\
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 +12 = 16 \\\ x_1 = \frac{2- 
\sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2-4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \\\
x_2 = \frac{2+ \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Zatem parabola przecina oś OX w punktach: (-1; 0) i (3; 0)

Wierzchołek W paraboli ma współrzędne:
$W = (p;\ q) = (\frac{-b}{2a}; \ \frac{-\Delta}{4a}) 
=(\frac{2}{2 \cdot 1}; \ \frac{-16}{4 \cdot 1}) =(\frac{2}{2}; \ 
\frac{-16}{4}) = (1; \ - 4)$

Zaznaczamy wyznaczone punkty w układzie współrzędnych i rysujemy parabole, czyli wykres funkcji f - patrz załącznik

Wykresem funkcji g jest prosta o równaniu: $y= x - 5$ przecinająca oś OY w punkcie (0; - 5) i oś OX w punkcie (5; 0).

Zaznaczamy wyznaczone punkty w układzie współrzędnych i rysujemy prostą, czyli wykres funkcji g - patrz załącznik

Odczytujemy współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji f i g, są to punkty; (1; - 4) i (2; - 3)

Zbiorem rozwiązań nierówności $f(x) \leq g(x)$ jest zbiór tych argumentów x, dla których wartości funkcji f są mniejsze lub równe wartościom funkcji g, zatem jest to zbiór:
$x \in \langle1; \ 2 \rangle$

1 votes Thanks 4