Question

4. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań jest para liczb różnych znaków?
a)
b)

5. Rozwiąż układ równań.
a)
b)
c)

Answer 1

 

Zad. 4

a)

 

I sposób

Jeżeli rozwiązaniem układu równań ma być para liczb różnych znaków, to x > 0 i y < 0 lub x < 0 i y >0

 

Stąd:

 

 

Aby był spełniony warunek zadania musi zachodzi jeden z tych przypadków, więc ostatecznie otrzymujemy:

 

II sposób

Jeżeli rozwiązaniem układu równań ma być para liczb różnych znaków, to ich iloczyn musi być ujemny, czyli xy < 0

 

Stąd:

 

Zatem rozwiązaniem nierówności jest zbiór:

 

Odp. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb różnych znaków, gdy

 

b)

 

Ten przykład zrobimy tylko II sposobem, zatem:

 

Zatem rozwiązaniem nierówności jest zbiór:

 

Odp. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb różnych znaków, gdy

 

Zad. 5

a)

 

 

x nie spełnia założenia, że x < 0, więc w tym przedziale układ nie ma rozwiązań

 

 

x i y nie spełniają założenia, że x < 0 i y ≥ 0, więc w tym przedziale układ nie ma rozwiązań

 

 

Para liczb (1; - 1) spełnia założenie, więc jest rozwiązaniem układu

 

 

y nie spełnia założenia, że y ≥ 0, więc w tym przedziale układ nie ma rozwiązań

 

Ostatecznie rozwiązanie układu równań jest para liczb:

 

Odp. x = 1 i y = - 1

 

b)

 

 

Rozpatrujemy 1równanie układu: |2x + 2| = 1

|2x + 2| = 2x + 2 dla

2x + 2 ≥ 0

2x ≥ - 2 \:2

x ≥ - 1

 

|2x + 2| = - (2x + 2) = - 2x - 2 dla

2x + 2 < 0

2x < - 2 \:2

x < - 1

 

Zatem:

x ∈ (- ∞; - 1)

- 2x - 2 = 1

- 2x = 1 + 2

-2x = 3 /:(-2)

x = -1,5 ∈ (- ∞; - 1)

 

x ∈ <- 1; 0)

2x + 2 = 1

2x = 1 - 2

2x = - 1 \ :2

x = - 0,5 ∈ (- 1; 0)

 

Stąd:

 

Pary liczb (- 1,5; - 0,5) i (- 0,5; - 1,5) spełniają założenie, więc są rozwiązaniem układu

 

 

Rozpatrujemy 2 równanie układu: |2x + 1| = 2

|2x + 1| = 2x + 1 dla

2x + 1 ≥ 0

2x ≥ - 1 \:2

x ≥ - 0,5

 

|2x + 1| = - (2x + 1) = - 2x - 1 dla

2x + 1 < 0

2x < - 1 \:2

x < -0,5

 

Zatem:

x ∈ (- ∞; - 0,5)

- 2x - 1 = 2

- 2x = 2 +1

-2x = 3 /:(- 2)

x = -1,5 ∈ (- ∞; - 0,5)

 

x ∈ <- 0,5; 0)

2x + 1 = 2

2x = 2 -1

2x = 1 \ :2

x = 0,5 ∉ <- 0,5; 0)

 

Stąd:

 

y nie spełnia założenia, że y ≥ 0, więc w tym przedziale układ nie ma rozwiązań

 

 

Rozpatrujemy 2 równanie układu: |2y + 1| = 2

|2y + 1| = 2x + 1 dla

2y + 1 ≥ 0

2y ≥ - 1 \:2

y ≥ - 0,5

 

|2y + 1| = - (2y + 1) = - 2y - 1 dla

2y + 1 < 0

2y < - 1 \:2

y < -0,5

 

Zatem:

y ∈ (- ∞; - 0,5)

- 2y - 1 = 2

- 2y = 2 +1

-2y = 3 /:(- 2)

y = -1,5 ∈ (- ∞; - 0,5)

 

y ∈ <- 0,5; 0)

2y + 1 = 2

2y = 2 -1

2y = 1 \ :2

y = 0,5 ∉ <- 0,5; 0)

 

Stąd:

 

x nie spełnia założenia, że x ≥ 0, więc w tym przedziale układ nie ma rozwiązań

 

 

Rozpatrujemy 1równanie układu: |2x - 2| = 1

|2x - 2| = 2x - 2 dla

2x - 2 ≥ 0

2x ≥ 2 \:2

x ≥ 1

 

|2x - 2| = - (2x - 2) = - 2x + 2 dla

2x - 2 < 0

2x < 2 \:2

x < 1

 

Zatem:

x ∈ (0; 1)

- 2x + 2 = 1

- 2x = 1 - 2

-2x = - 1 /:(-2)

x = 0,5 ∈ (0; 1)

 

x ∈ <1; +∞)

2x - 2 = 1

2x = 1 + 2

2x = 3 \ :2

x = 1,5 ∈ (<1; +∞)

 

Stąd:

 

Pary liczb (0,5; 1,5) i (1,5; 0,5) spełniają założenie, więc są rozwiązaniem układu

 

Ostatecznie rozwiązaniem układu są pary liczb:

 

Odp. Rozwiązaniem układu sa pary liczb: (- 1,5; - 0,5); (-0,5; - 1,5); (0,5; 1,5) i (1,5; 0,5).

 

c)

 

|x – 1| = x - 1  dla

x – 1 ≥ 0

x ≥ 1

 

|x – 1| = - (x -1) = - x + 1  dla

x – 1 < 0

x < 1

 

|y + 1| = y + 1  dla

y + 1 ≥ 0

y ≥ - 1

 

|y + 1| = - (y + 1) = - y - 1  dla

y + 1 < 0

y < - 1

 

 

y nie spełnia założenia, więc w tym przedziale układ nie ma rozwiązań

 

 

 

y nie spełnia założenia, więc w tym przedziale układ nie ma rozwiązań

 

 

y nie spełnia założenia, więc w tym przedziale układ nie ma rozwiązań

 

W żadnym z rozpatrywanych przypadku układ nie miał rozwiązania, zatem ostatecznie układ nie ma rozwiązań.

 

Odp. Układ nie ma rozwiązania.